« مهر 2007 | ص?حه اصلی | بهمن 2007 »

گزارشی از سال های پس از کوانتم قدیم (1926-1936) 1

مفاهیم مکانیک کوانتم به روایت آزمایشگاه

آزمایشگاه اندازه گیری کمیت های مکان-سرعت

 یکی از مهم ترین پرسش هایی که در مواجهه با رویدادهای تصادفی مکانیک کوانتم و اصل عدم قطعیت پیش می آید این است که تصادف در ارتباط با چه کمیت یا کمیت های فیزیکی رخ می دهد و رفتار این کمیت یا کمیت ها صرف نظر از تصادف و احتمالی که برای آزمایش بروز می دهند چگونه تغییر می کنند.

به عبارتی واضح تر اگر مکان یک الکترون یک کمیت تصادفی باشد و ما هیچ گونه آزمایشی روی الکترون انجام ندهیم مکان یه الکترون چگونه تغییر می کند. آیا در این مورد قانون اول نیوتن صدق می کند. خوب اجازه بدهید درباره ی آن چه در آزمایشگاه می گذرد کمی گزارش دهم. البته آزمایش های فرضی ما در یک آزمایشگاه خیالی روی می دهد ولی اعتبار همه ی آن ها به گونه ای واقعی (یعنی نه دقیقا روشی که در این متن به آن اشاره شده است) قابل بررسی است.

 

ابتدا فرض کنید یک الکترون را داخل یک لوله ی شیشه ای مدرج وارد کرده ایم و حرکت الکترون به جلو و عقب رفتن درون لوله مقید شده است. همچنین فرض کنیم الکترون داخل لوله گرچه قابل دیدن نیست ولی لوله ی مورد نظر ما مجهز به مکانیسمی است که هرگاه بخواهیم می توانیم آن را راه اندازی کنیم و در زمان عملا صفر، الکترون داخل لوله برای چشم ما قابل دیدن می شود و در نتیجه ما می توانیم در آن لحظه مکان الکترون رو از روی لوله ی مدرج بخوانیم. بنابراین با هر بار راه اندازی مکانیسم لوله، یک نقطه روی درجات در یک زمان مشخص اندازه گیری می شود. به عبارتی می توانیم بگوییم الکترون در زمان t دقیقا در مکان x قرار دارد و دقت این اندازه گیری می تواند به صورت نامحدودی بیشتر شود طوری که بگوییم کوچک ترین خطایی در اندازه گیری مکان الکترون وجود ندارد.

 

تا همین جا یک گزارش از واقعیت داشته ایم؛ برای هر کمیتی که در مکانیک کلاسیک تعریف شده است مکانیسمی وجود دارد که اندازه ی آن کمیت را به صورت کاملا دقیق و بدون هیچ خطا و احتمالی در یک لحظه ی خاص بدهد. پس اجازه بدهید با مکانیسم خیالی خود کمی بیشتر سرگرم باشیم.

 

با شروع از یک لحظه ی خاص (زمان، صفر) با فواصل زمانی ثابتی (مثلا یک ثانیه) شروع به انجام مکانیسم اندازه گیری می کنیم و در خواهیم یافت که مکان الکترون در اندازه گیری های متوالی به صورت تصادفی تغییر می کند به طوری که با هیچ رابطه ی ریاضی نمی توان مکان دقیق اندازه گیری بعدی را پیش بینی کرد. از طرفی توزیع این مکان های تصادفی نیز احتمال وقوع مکان بعدی را در نزدیکی آخرین مکان وقوع بیشتر نشان می دهد. یعنی اگر الکترون در لحظه ی صفر روی نقطه ی صفر مکان دیده شود در لحظه ی یک به احتمال زیادی حوالی همان نقطه ی صفر مکان دیده خواهد شد، گرچه ممکن است در هر نقطه ای دیده شود.

 

با توجه به گزارش بالا می توان نتیجه گرفت چنین رویدادی در آزمایشگاه خیالی ما نشان از نقض نسبیت خاص دارد. زیرا در فاصله ی زمانی دو اندازه گیری متوالی که مثلا یک ثانیه هستند ممکن است الکترون در دو نقطه که بیش از 300 میلیون متر با هم فاصله دارند دیده شود.

 حالا اجازه بدهید آزمایش را عوض کنیم و سراغ دستگاه خیالی دیگری برویم. در این آزمایش مانند قبل الکترون داخل لوله ای در حال حرکت است و لوله مجهز به مکانیسمی است که با راه اندازی در هر لحظه ی دلخواه سرعت الکترون داخل لوله را نشان می دهد. این بار نیز زمان انجام مکانیسم عملا صفر است.

مانند آزمایش فرضی اندازه گیری مکان های متوالی این بار سرعت های متوالی الکترون را اندازه می گیریم و در کمال تعجب در خواهیم یافت که سرعت الکترون فقط یک مقدار ثابت خواهد بود و هیچ تصادفی روی نخواهد داد. ولی جالب این جاست که اگر الکترون داخل لوله با پدیده ای فیزیکی کنش انجام دهد (مثلا از بیرون لوله یک میدان الکتریکی برقرار کنیم) و آزمایش سرعت های متوالی را تکرار کنیم مقدار ثابتی که برای سرعت اندازه گیری می شود به صورت تصادفی عوض خواهد شد.

 

در حالی که شاید در معمای عدم تشابه آزمایش های مکان و سرعت الکترون باشیم اجازه بدهید به آزمایش مکان برگردیم ولی این بار اندازه گیری های متوالی را آن چنان سریع انجام دهیم که زمان بین اندازه گیری ها صفر باشد یا به عبارتی همه ی آزمایش ها در یک لحظه انجام شود یا به عبارت بهتر زمان متوقف شود. در این صورت خواهیم دید که مکان نیز مانند سرعت، در اندازه گیری های متوالی، فقط یک مقدار می دهد. در حالی که اگر اجازه بدهیم زمانی بگذرد و سپس در یک لحظه چند بار اندازه بگیریم باز مقدار ثابتی خواهیم داشت که البته با دفعه ی قبل متفاوت خواهد بود. تفکر درباره ی یکسان نبودن اثر گذشت زمان بر کمیت های مکان و زمان الکترون را تا روایت مدل های ریاضی کنار می گذاریم و به سراغ آزمایش های دیگر می رویم.

 

در آزمایش بعدی الکترون می تواند در دو بعد حرکت کند؛ دو متغیر مکانی و دو متغیر سرعت. اگر از ابتدا از مکانیسم های اندازه گیری مکان الکترون استفاده کنیم در خواهیم یافت که اوضاع مشابه آزمایش یک بعدی است یعنی اگر در لحظه ی صفر الکترون را در نقطه ی مبدا مکان ببینیم در لحظه ی بعد الکترون یحتمل همان حوالی اندازه گیری خواهد شد.

 

حال اگر از مکانیسم های اندازه گیری سرعت استفاده کنیم می بینیم مولفه های سرعت الکترون به صورت کاملا مستقل از هم اندازه گیری می شوند یعنی وقتی سرعت در جهت x اندازه گیری می شود بدیهی است که آزمایش بعدی سرعت در جهت x نیز همان مقدار را بدهد ولی جالب این جاست که اگر بین دو اندازه گیری متوالی سرعت در جهت x بیاییم و مکانیسم اندازه گیری سرعت در جهت y را راه اندازی کنیم در اندازه گیری سرعت x هیچ تاثیری نمی گذارد (بر خلاف میدان الکتریکی مذکور).

 

همین جا مفهوم بسیار بزرگی از این گزارش قابل دریافت است؛ اندازه گیری بعضی کمیت ها روی اندازه گیری بعدی بعضی دیگر کمیت ها تاثیر می گذارد. از طرفی کمیت هایی هم هستند که اندازه گیری آن ها هیچ تاثیر روی اندازه گیری دیگری ندارد.

 

به مفهوم بالا این را هم اضافه کنید که گذشت زمان روی اندزاه گیری بعضی کمیت ها تاثیر می گذارد و روی بعضی تاثیر نمی گذارد. همه ی این ها ضمن این مطلب بسیار ویژه ی مکانیک کوانتم است که در بین جملات اخیر معنی ترکیب "تاثیر می گذارد" این است که اندازه ی بعدی کمیت متاثر تصادفی می شود.

 

خوب تا این جا، اگر خواسته باشیم جمع کنیم، باید با چند آزمایش و بررسی فرضی دیگر به این نتیجه ی مهم برسیم:

 

این نکته ی آخر از این جهت مهم است که به ما اجازه نمی دهد مکان و سرعت یک الکترون را بدون توجه به یکدیگر اندازه بگیریم به عبارتی فرق می کند که اول مکان را اندازه بگیریم یا اول سرعت و همین طور فرق می کند نتیجه ای که الان می گیریم با نتیجه ای دفعه ی بعد می گیریم. بر خلاف آن کمیت هایی که ترتیب اندازه گیرشان بر نتیجه ی یکدیگر تاثیری نداشت.

 

تاثیری که اندازه گیری مکان و سرعت روی همدیگر می گذارند آن چنان شدید است که درست پس از اندازه گیری مکان، سرعت هر چیزی می تواند باشد، با احتمال یکنواخت برای هر مقدار. و درست پس از اندازه گیری سرعت، توزیع احتمال مکان روی تمام اعداد حقیقی کاملا یکنواخت است.

 

نتیجه ی این همه این است که مکان و سرعت یک الکترن را نمی توان با هم اندازه گیری کرد. شاید این جا به ذهن این گونه خطور کند که گرچه نمی توان مکان و سرعت یک الکترون را با هم اندازه گیری ولی در لحظه ای که مکان الکترون اندازه گیری می شود، ذره سرعتی دارد که ما آن را نمی دانیم (یا برعکس این آزمایش) در نتیجه اگر سرعت الکترون را در یک لحظه و مکان را در لحظه ی بعد بدانیم می توان مکان اولیه را نیز محاسبه کرد، ولی آزمایش های مخلتف نشان می دهند که چنین چیزی درست نیست. دقیق تر توضیح می دهم...

 

بررسی همه ی مکانیسم های اندازه گیری مکان و سرعت نشان می دهد که نتیجه ای که از اندازه گیری خارج می شود یک عدد تصادفی است بنابراین نمی توان از آن برای محاسبه ی مقدار گذشته ی کمیت دیگر استفاده کرد. مثلا اگر ابتدا سرعت آمده باشد 4 و سپس مکان را داشته باشیم 5 این 5 یک پیش آمد از یک عدد تصادفی است و نمی توان از روی آن مکان را در ابتدا تعیین کرد. ولی صرف نظر از بررسی این مکانیسم ها در همان اولین آزمایش خیالی هم می توان چنین واقعیتی را مشاهده کرد؛ فرض کنید که اصلا الکترون در هر لحظه مکان و سرعت مشخصی دارد که ما فقط یکی از آن ها را می توانیم بدانیم اگر چنین باشد (حتی اگر قانون اول نیوتن هم کم اعتبار باشد) باید قانونی دقیق باشد که مکان و سرعت بعدی الکترون را پیش بینی کند ولی چنین قانونی وجود ندارد چون نتایج اندازه گیری های پیش آمدهای یک تصادف اند.

این جاست که برای اولین بار در مکانیک کوانتم با یک مفهوم نو و انحصاری آشنا می شویم که شکننده ی مفاهیم بسیار بدیهی و ما قبلی a priori ما از مکان و زمان است و البته بسیار هم ضد شهودی counter intuitive. فکر کنید چیزی مثل یک الکترون (که تا کنون با آن مثل یک کره ی کوچک رفتار کردیم) در هر لحظه می تواند فقط یکی از مکان یا سرعت را داشته باشد. چه طور است که یک تصویر خیالی ما در یک زمان واقع می شود ولی در مکان واقع نمی شود، همان گونه است که چیزی مثل الکترون می تواند در لحظاتی مکان داشته باشد ولی سرعت نداشته باشد (یعنی انگار که این موجود اصلا نمی داند سرعت چیست) یا بر عکس. اگر بخواهم دقیق تر گزارش دهم باید بگویم در لحظه ای که الکترون در یک مکان معین و اندازه گیری شده است می توان مکان آن را با یک عدد حقیقی گزارش داد ولی سرعت الکترون در این لحظه یک عدد حقیقی نیست، تو گویی مثلا سرعت در این لحظات به جای یک عدد یک تابع باشد (که البته همین هم هست).

نوشته شده توسط shahin در ساعت

گزارشی از سال های پس از کوانتم قدیم (1926-1936) 2

آزمایشگاه مقادیر گسسته ی کمیت ها

 

تجربه نشان می دهد هر کمیت فیزیک کلاسیک در مکانیک کوانتم نیز وجود دارد و به صورت کاملا دقیق قابل اندازه گیری است، یعنی برای آن مکانیسم اندازه گیری وجود دارد. اما در مقادیری که برای اندازه گیری کمیت های فیزیکی در مکانیک کوانتم به دست می آید تفاوتی وجود دارد که نام مکانیک کوانتم، نیز ریشه های پیشرفت آن، بر گرفته از این تفاوت است. در بعضی آزمایش های مکانیک کوانتم مقادیر بعضی کمیت ها نمی تواند هر عدد حقیقی باشد و در واقع مقادیری گسسته است.

 

اجازه بدهید با مشهودترین و شناخته شده ترین این کمیت ها آزمایش کنیم. هر جسم چرخان با بار الکتریکی یک میدان مغناطیسی ایجاد می کند. گرچه ابعاد و شکل یا چرخش الکترون تاکنون اندازه گیری نشده است (غیر قابل اندازه گیری است) ولی الکترون چنین میدان مغناطیسی ایجاد می کند. بنابراین می توانیم اجالتا الکترون را کره ای چرخان تصور کنیم. در الکترومغناطیس کلاسیک به میدان مغناطیسی وسط این کره گشتاور مغناطیسی کره می گوییم. بنابراین گشتاور مغناطیسی یک بردار است با سه مولفه.

 

الکترون نیز این گشتاور مغناطیسی را دارد و در واقع چیزی که در آزمایش ها قابل اندازه گیری است همین گشتاور است و نه چرخش الکترون. حالا تصور کنید دستگاهی داریم که گشتاور مغناطیسی الکترون را در یک جهت ویژه اندازه می گیرد و این جهت را ما تعیین می کنیم. ابتدا دستگاه را عمودی می کنیم (که گشتاور مغناطیسی را در جهت عمودی اندازه بگیرد) و یک الکترون داخل دستگاه می گذاریم و مکانیسم اندازه گیری را راه اندازی می کنیم و دستگاه اندازه ی مولفه ی عمودی گشتاور مغناطیسی را درست در لحظه ی راه اندازی مکانیسم به ما نشان می دهد. نکته ی متمایز کننده ی کمیت های مکانیم کوانتم این است که اعدادی که دستگاه نشان می دهد فقط دو تا هستند و این دو نیز هم اندازه و قرینه ی هم هستند. این دو عدد هم تصادفی هستند با احتمال برابر. درست عین یک سکه.

 

البته این امر در ابتدا اصلا با عقل سازگار نمی آید؛ حتی اگر اندازه ی این بردار گشتاور مغناطیسی الکترون ثابت باشد، باز ممکن است با راستای عمودی هر زاویه ای بسازد و در نتیجه هر مقدار حقیقی برای مولفه ی عمودی به دست بیاید. شاید این گونه تصور کنیم که گشتاور الکترون وقتی داخل دستگاه می شود در یک راستا باشد. پس این بار سعی می کنیم الکترون را قبل از قرار دادن داخل دستگاه با یک میدان مغناطیسی خارجی تا می توانیم بچرخانیم و جهت گشتاور مغناطیسی را کاملا در هر بریزیم ولی باز همان دو عدد به دست می آید.

 

در حالی که از سنجیدن این پدیده با عقل درمانده ایم سعی می کنیم نتایج آزمایشگاه قبل را یک بار دیگر بررسی کنیم. مولفه ی عمودی گشتاور الکترون را در طول زمان متوالیا اندازه می گیریم و فقط یک مقدار ثابت به دست می آید. مثلا نتیجه ی اندازه گیری یا فقط در جهت بالا است یا فقط در جهت پایین. بنابراین گشتاور مغناطیسی الکترون، که حالا اجازه بدهید صرف نظر از میدان مغناطیسی به بالا-پایین بودن آن بگوییم اسپین الکترون، از آن دست کمیت هایی است که گذشت زمان روی اندازه گیری های متوالی آن تاثیری نمی گذارد و آن را تصادفی نمی کند. حالا اگر دستگاه را در هر جهت دیگر بچرخانیم و اسپین را اندازه بگیریم خواهیم دید که اندازه گیری اسپین در یک جهت اندازه گیری آن در هر جهت دیگر را متاثر خواهد کرد. یعنی فرق می کند که مثلا اول مولفه عمودی را اندازه بگیریم و بعد افقی را یا بر عکس.

 

در توجیه پدیده ی دو مقداری اسپین شاید به این فکر بیفتیم که دو مقداری بودن اسپین به خاطر مکانیسم اندازه گیری اسپین است و اگر اسپین را اندازه نگیریم بتواند هر مقداری باشد. ولی شواهد و آزمایش هایی که در این آزمایشگاه حوصله ی پرداختن به آن ها نیست نشان می دهند که اسپین الکترون در هر جهت دلخواه فقط می تواند دو مقدار داشته باشد، خواه آن را اندازه بگیریم و خواه اندازه نگیریم.

 

حتی اگر نخواهیم به شواهد واقعا دو مقداری بودن اسپین الکترون بپردازیم باز شواهدی و دلایلی ریاضی وجود دارند که نشان دهند چه اتفاقی در آزمایش اسپین الکترون می افتد. ابتدا تذکر می دهم امکان پذیر نخواهد بود که اسپین، که مولفه ی یک بردار در جهت ویژه ای است، در هر جهت یک عدد باشد. مثلا اگر در جهت x بالا +1 باشد و همچنین در جهت های y و z آن گاه اندازه ی بردار ریشه ی 3 خواهد بود و بنابراین در جهت بردار ما باید ریشه ی 3 را اندازه بگیریم در صورتی که باز +1 یا -1 را اندازه خواهیم گرفت. حالا از آزمایشگاه قبلی یادآوری می کنم کمیت هایی مانند مکان و سرعت بودند که بر اندازه گیری های یکدیگر تاثیر می گذاشتند و وقتی یکی توسط مکانیسم ویژه ی خود اندازه گیری می شد دیگری (در آن لحظه) اصلا یک عدد نبود و به شوخی البته، گفتیم که تو گویی یک تابع باشد. این جا وضعیت به گونه ای مشابه است. یعنی وقتی اسپین الکترون در جهت عمودی اندازه گیری می شود (شواهد این را نشان می دهند. مانند آزمایشگاه قبل) اسپین آن در هر جهت دیگر یک عدد نیست یعنی بالا نیست، پایین هم نیست. بنابراین اگر اسپین را در جهت x +1 اندازه بگیریم اسپین در جهت های y و z دیگر عدد نیست که بخواهیم از قضیه ی فیثاغورس استفاده کنیم.

 

خوب اسپین الکترون تنها کمیتی نیست که مقادیر گسسته یا کوانتمی دارد. مکان نیز می تواند در بعضی شرایط گسسته شود. مثلا اگر الکترون را به دور یک بار مثبت (پروتون) به چرخش واداریم خواهیم دید شعاع چرخش الکترون به دور هسته ی پروتونی فقط مقادیر گسسته ای خواهد بود البته این بار تعداد این مقادیر فقط دو تا نیست بلکه نا متناهی است. یا نوسانات هارمونیک (نوسان ساده) یک الکترون نیز مقادیر گسسته ای از دامنه های نوسان و در نتیجه مقادیر گسسته ای از انرژی های نوسان را دارد. و اصولا هر نوسان ساده ی دیگری نیز مقادیر گسسته ای برای انرژی های خود دارد. البته مکانیک کوانتم بنا به سیر تاریخی خود درست از همین نقطه شروع شد؛ وقتی که پلانک فرض کرد که نوسانات میدان الکترومغناطیسی داخل حفره ی سیاه مقادیر گسسته است یا وقتی ...

خوب اگر بخواهیم خلاصه کنیم باید بگوییم هر کمیت فیزیکی در هر پدیده ی کوانتمی می تواند مجموعه ای از مقادیر را به عنوان نتایج اندازه گیری اختیار کند که گاهی این مجموعه شبیه اعداد حقیقی است و گاهی شبیه مجموعه های گسسته مثل اعداد طبیعی یا مجموعه ی بالا-پایین. صرف نظر از این هر کمیت خواه اندازه گیری بشود یا نشود فقط همان مقادیر را می تواند اختیار کند و باز تکرار این مفهوم عمیق که گاهی بعضی کمیت های کوانتمی عدد نیستند، تو گویی ...

نوشته شده توسط shahin در ساعت

گزارشی از سال های پس از کوانتم قدیم (1926-1936) 3

مفاهیم مکانیک کوانتم به روایت مدل های ریاضی

 

مکانیک کوانتم سرانجام در سال 1926 توسط دو مدل ریاضی به طور کامل در قالب فرمول آمد (غالبا این نقطه را شروع دوره ی کوانتم جدید می دانند). این دو مدل که در ابتدا مستقل می نمودند حاصل ارائه ی دو فیزیک دان آلمانی اروین شرودینگر و ورنر هایزنبرگ بودند. ولی چند سالی طول کشید تا مفاهیم عمیق و انقلابی مکانیک کوانتم در قالب ریاضیات بیان شوند و همه ی پیچیدگی های آزمایش های کوانتم به تفاسیری از مدل های ساده ی ریاضی تبدیل شوند. این اتفاق به همت کسانی چون پل دیراک، شرودینگر، جردن، لانده امکان پذیر شد و دست آخر کتاب ماندگار جان فون نویمان در مبانی ریاضی کوانتم تقریبا همه ی آن چیزی که می توانست در آزمایش های کوانتم قدیم مشاهده شود را در بیان ریاضی می آورد.

 

با ارائه ی دو مدل هایزنبرگ و شرودینگر در سال 1926 هر آن چه موضوع مکانیک کوانتم بود قابل محاسبه شد ولی چیزی که در این متن عمدتا به آن خواهم پرداخت نه این دو مدل ریاضی بلکه توصیفات دقیق تئوری ریاضی کوانتم از واقعیت و انتزاع مفاهیم انحصاری کوانتم است که در نتیجه ی کوشش های دیراک، ... و نویمان به دست آمد. اهمیت این مفاهیم انتزاع شده در این حد است که بتوانیم آن را یک طرح schema بنامیم در حالی که دو مدل مذکور صرفا مدلی ریاضی برای واقعیت طبیعی هستند و البته این جا تفاوت مدل و طرح مشخص می شود.

 

قبل از هر چیز مطلبی را از مکانیک کلاسیک یادآوری می کنم. در مکانیک کلاسیک مکان یا در حالت کلی موقعیت (که وابستگی به زمان ندارد) هر سیستم توسط تعدادی متغیر که مختصات آن سیستم گفته می شوند تعیین می شوند. به تعداد این مختصات درجه ی آزادی آن سیستم می گوییم. ولی از آن جایی که به تجربه دریافته ایم که هر سیستم مکانیکی کلاسیک به ازای هر درجه ی آزادی خود یک معادله ی دیفرانسیل مرتبه ی دو دارد، برای مشخص شدن آینده و گذشته ی یک سیستم کلاسیک باید علاوه بر مختصات سیستم در یک لحظه سرعت تغییرات هر متخصه را نیز اندازه گیری کنیم. به مجموعه ی این اعداد که تمام اطلاعات رفتاری سیستم را برای همه ی لحظات در اختیار می گذارد حالت سیستم می گوییم. بدیهی است که متغیرهای حالت دو برابر متغیرهای مختصات هستند.

 

اولین مفهومی که در مکانیک کوانتم با آن رو به رو خواهیم شد مفهوم مشاهده پذیر observable است؛ از آن جایی که در این تئوری بسیاری اعداد در معادلات و عبارات ظاهر می شوند ولی همه ی آن ها قابل اندازه گیری نیستند. در مکانیک کوانتم به هر پدیده ای که قابل اندازه گیری باشد یک مشاهده پذیر می گوییم. پدیده ای قابل اندازه گیری است که مکانیسمی برای به دست آوردن یک عدد حقیقی دقیق از آن موجود باشد. دومین مفهوم مکانیک کوانتم همین مکانیسم اندازه گیر است؛ به مکانیسمی که یک مشاهده پذیر را اندازه می گیرد دستگاه (اندازه گیر) apparatus آن مشاهده پذیر می گوییم.

 

پس هر مشاهده پذیر دستگاه ویژه ی خود را دارد که به ازای هر اندازه گیری درست یک عدد حقیقی دقیق از آن گزارش می دهد. مجموعه ی اعدادی که از اعمال دستگاه بر روی مشاهده پذیر آن حاصل می شود را طیف ویژه مقدارهای spectrum of eigenvalues آن مشاهده پذیر می گوییم و هر عدد را یک ویژه مقدار eigenvalue از آن مشاهده پذیر می گوییم.

 

همان گونه که در آزمایشگاه نیز موکد شد، مشاهده پذیر مفهومی کلی تر از کمیت فیزیک کلاسیک است. زیر بر خلاف کمیت فیزیک کلاسیک، مشاهده پذیر یک عدد نیست بلکه پدیده ای است قابل اندازه گیری. یعنی فقط وقتی با یک عدد قابل بیان است که با دستگاه متناظرش در کنش قرار گیرد. بنابراین می توان گفت اصلا کار یک دستگاه این است که مشاهده پذیر خود را تبدیل به عدد کند (یا آشکار کند) یا به گونه ای دیگر می گوییم دستگاه مشاهده پذیر را معین کرد definite یا آن را به مقدار دقیق sharp value برد. اگر یک مشاهده پذیر معین شده باشد واکنش دستگاهش با آن فقط یک عدد از طیف ویژه مقدارها را می دهد. یعنی مشاهده پذیر در یک عدد گیر می کند تا طی فرایندی از حالت دقیق در بیاید و دوباره وارد آن شود.

 

گاهی واکنش یک مشاهده پذیر و دستگاهش، مشاهده پذیر دیگری را از حالت معین در می آورد (یعنی اندازه گیری دومی را کاملا نامعتبر می کند). یا به عبارتی دو مشاهده پذیر داریم که هر دو با هم عدد (آشکار) نمی شوند. چنین دو مشاهده پذیری را ناسازگار incompatible observables می گوییم. ولی اگر این گونه نباشد آن دو را سازگار compatible observables می گوییم.

 

یک سیستم کوانتمی system پدیداری کوانتمی است که به کمک مجموعه ای از مشاهده پذیرهای دو به دو سازگار، کاملا (کامل به این خاطر که تمام اطلاعات کافی در مجموعه یافت شود) قابل نمایش representation باشد. اعضای چنین مجموعه ای می توانند همگی با هم عدد باشند یا به عبارتی به ازای این مجموعه از مشاهده پذیرها یک مجموعه از دستگاه ها وجود دارد که می توانند با هم به سیستم اعمال شوند و معتبر باشند. این نکته قابل تامل است که مفهوم سیستم کوانتمی صرفا یک مجموعه از مشاهده پذیرها نیست بلکه [موکد می کنم که] پدیداری است که با مجموعه ای قابل نمایش representation است. برای یک سیستم کوانتمی تعداد نامحدودی نمایش وجود دارد یعنی تعداد نامحدودی مجموعه از مشاهده پذیرها که به تجربه دریافته ایم (و اکنون نیز آن را به عنوان یک اصل تعریف کرده ایم، زیرا از آن جا که می گوییم پدیداری است که با مجموعه ای قابل نمایش باشد، اطلاعاتی که یک نمایش می دهد باید قابل تبدیل به اطلاعات نمایش دیگر باشد و در نتیجه تعداد اعداد دو نمایش باید برابر باشند) تعداد اعضای مشاهده پذیرهای یک نمایش از یک سیستم کوانتمی مقدار ثابتی است و بستگی به نمایش ندارد. به این تعداد ثابت تعداد مشاهده پذیرها یا درجه ی آزادی سیستم کوانتمی می گوییم. خوب حالا می توانیم هرگاه از یک سیستم کوانتمی صحبت می کنیم، فقط از یک مجموعه ی مشاهده پذیر گفتگو کنیم و بگوییم در فلان نمایش سیستم هستیم. مثل این که گاهی می گوییم در دستگاه مختصات کارتزین هستیم یا قطبی یا کروی یا ...

 

وقتی در یک نمایش از یک سیستم هستیم می توانیم مشاهده پذیرهای آن نمایش را با کمک دستگاه های آن نمایش اندازه بگیریم و همچنین هر کدام از مشاهده پذیرهای آن نمایش را نیز به ویژه مقدار ببریم و معین کنیم. به چنین وضعیتی یک حالت از سیستم کوانتمی می گوییم. یعنی حالت کوانتمی quantum state یک سیستم حالتی پدیداری phenomenal state از یک پدیدار است که توسط یه مجموعه از اعداد قابل نمایش باشد. [باز به تمایز این دو اشاره می کنم که] سیستم با مجموعه ای از مشاهده پذیرها قابل نمایش است و حالت با مجموعه ای از اعداد قابل نمایش. ساده این که حالت کوانتمی یک حالت از سیستم کوانتمی است. طبیعی است که اگر مجموعه ی دستگاه های اندازه گیر را تغییر دهیم یا به نمایش دیگر رویم سیستم به حالت هایی می رود که ویژه ی آن مشاهده پذیرها یا آن دستگاه ها یا آن نمایش است. به حالت های یک نمایش خاص ویژه حالت های eigenstate آن نمایش می گوییم. دوباره طبیعی است که بسیار ممکن است ویژه حالت های یک نمایش، ویژه حالت های یک نمایش دیگر نباشند ولی جملگی حالت های سیستم هستند.

 

لازم است اضافه کنم که مشاهده پذیرها هیچ گاه به صورت آزاد وجود ندارند بلکه همیشه در نمایش های سیستم های مختلف ظاهر می شوند. در نتیجه در واقعیت نمی توان از یک تک-مشاهده پذیر صحبت کرد. بنابراین بسیار جالب توجه است بدانیم کوچک ترین سیستم کوانتمی (با کمترین درجه ی آزادی (مشاهده پذیر)) چیست: اسپین یک الکترون یک نمونه از کوچک ترین سیستم های کوانتمی است که فقط یک مشاهده پذیر دارد و هر حالت آن یک عدد است. این که اسپین یک الکترون یک سیستم کوانتمی است اصلا مطلبی بدیهی نیست، زیرا پدیدار الکترون معمولا به همراه مکانش ظاهر می شود یعنی قاعدتا اگر بخواهیم الکترون را کامل توصیف کنیم باید مکان و اسپین را با هم نمایش دهیم ولی شواهدی نشان می دهند که مکان الکترون و اسپین آن دو سیستم کوانتمی مستقل هستند که با هم مجتمع شده اند.

 

نکته ی دیگری که نقطه ی تفاوت مکانیک کوانتم و کلاسیک است اطلاعات کمتری است که از حالت کوانتمی نسبت به حالت کلاسیک به دست می آید. به تجربه دریافته ایم که تعداد اعدادی که حالت کوانتمی یک سیستم را مشخص می کند نصف تعداد اعدادی است که حالت همان سیستم را در مکانیک کلاسیک مشخص می کند. مثلا اگر در مکانیک کلاسیک مکان و سرعت یک جسم حالت آن را مشخص می کند در مکانیک کوانتم فقط یکی از این دو برای مشخص کردن حالت کوانتمی کافی و معتبر است. این که این اطلاعات قابل اندازه گیری در کوانتم نصف اطلاعات کلاسیک هستند با چند اصل قابل اثبات است.

 

خوب حالا فرض کنید یک سیستم کوانتمی را که در یکی از حالات خود است با یک مجموعه دستگاه مورد بررسی قرار می دهیم. نمایشی که درباره ی آن صحبت می کنیم نمایش مربوط به دستگاه ها است و فرض کنید حالت مذکور هیچ کدام از ویژه حالت های نمایش نباشد. سیستم را با مجموعه دستگاه ها در یک واکنش قرار می دهیم تا سیستم به یکی از ویژه حالت های نمایش مربوط به دستگاه ها رود. اما دستگاه به کدام ویژه حالت این نمایش می رود؟

 

درست از این نقطه مفهوم تصادف و احتمال وارد مکانیک کوانتم می شود. مکانیک کوانتم درباره ی این که سیستم به کدام ویژه حالت دستگاه اندازه گیر می رود هیچ نمی تواند بگوید جز یک عدد که آن را احتمال گذار transition probability می گوییم. احتمال گذار عددی است که احتمال رفتن از یک حالت سیستم به حالت دیگر سیستم را بیان می کند. احتمال گذار از جهت عملی و واقع گرایانه مهم ترین مفهومی است که در مکانیک کوانتم وجود دارد زیرا احتمال گذار تنها مهم ترین چیزی است که کوانتم می تواند حساب کند، پیش بینی کند و آن را در آزمایشگاه تجربه کنیم. و جالب این جاست که احتمال گذار یک مشاهده پذیر نیست و نمی توان آن را در آزمایشگاه یا واقعیت اندازه گرفت و جالب تر این که به واسطه ی محاسبه ی همین احتمال گذار در پدیده های مختلف، مکانیک کوانتم یکی از قوی ترین و اثبات شده ترین تئوری های قرن گذشته است. خلاصه این که کوانتم می تواند حساب کند احتمال گذار دقیقا چه قدر است و چگونه با زمان تغییر می کند.

 

اجازه دهید از این پس به مجموعه دستگاهی که مجموعه ی مشاهده پذیر یک سیستم را اندازه می گیرد به اختصار دستگاه apparatus بگوییم. تا این جا یک سیستم S داریم و تعدادی دستگاه مثل A1 و A2 که هر دستگاه سیستم را به ویژه حالت های نمایش خود می برد. تعداد ویژه حالت های این دو نمایش لزوما با هم برابر نیست. ولی می توان به سادگی و با کمک یک اصل (برگشت پذیری) نشان داد که تعداد ویژه حالت های هر نمایش از یک سیستم باید یکسان باشد. مثلا اگر با کمک دستگاه A1 بتوانیم سیستم را کلا به چهار ویژه حالت این نمایش با نام های بالا، پایین، چپ و راست ببریم با کمک دستگاه A2 هم باید بتوانیم به چهار ویژه حالت نمایش A2 برویم که نام های آن ها را خوب، بد، زیبا و زشت می گذاریم. این تعداد برای یک سیستم کوانتمی بسیار تعیین کننده و مهم است زیرا گاهی عددی محدود و گاهی نامحدود، گاهی به تعداد اعداد طبیعی و گاهی به تعداد اعداد حقیقی است.

 

در نهایت این بخش را با یک مثال از واقعیت تمام می کنم. سیستم کوانتمی را اسپین الکترون می گیریم و لااقل سه مشاهده پذیر و در نتیجه سه دستگاه و در نتیجه سه نمایش از آن را بررسی خواهیم کرد. اول این که دستگاه اندازه گیر اسپین مولفه ی بالا-پایین آن را اندازه بگیرد، دیگر دستگاهی که مولفه ی چپ-راست اسپین را اندازه بگیرد و آخر این که مولفه ی جلو-عقب آن را اندازه بگیرد (البته نیازی نیست از سه دستگاه استفاده کنیم، با چرخاندن یک دستگاه بقیه به دست می آیند). همان طور که قبلا ذکر شد تعداد مشاهده پذیرها در هر نمایش باید یکی باشد که همین گونه در هر نمایش فقط یک مشاهده پذیر داریم. تعداد ویژه حالت های یک نمایش نیز باید یکسان باشد که همین گونه در هر نمایش دو ویژه حالت داریم. یعنی در نمایش بالا-پایین دو ویژه حالت بالا و پایین را داریم و ...

خوب اگر با دستگاه بالا-پایین را در کنش با سیستم قرار دهیم، از آن جا که قبل از این سیستم در حالتی ممکن است باشد، نمی توان گفت سیستم به حالت بالا می رود یا پایین و حتی نمی توان گفت با چه احتمالی. پس فرض کنیم که سیستم به بالا رود. حالا اگر دستگاه چپ-راست را کنش دهیم کوانتم حساب می کند که نیم احتمال گذار به چپ است و نیم هم به راست. اگر فرض کنیم سیستم به چپ رود باز کوانتم حساب می کند که نیم احتمال رفتن به بالا است و نیم به پایین و ... کوانتم همچنین حساب می کند که همه ی احتمال گذارها با زمان ثابت می مانند. آخر این که اگر سیستم در حالت بالا باشد و دستگاه را 45 درجه نسبت به راستای بالا بچرخانیم و دستگاه را با سیستم کنش دهیم یک چهارم احتمال گذار به یکی از حالت هاست و سه چهارم به دیگری. نام هایشان را هم هر چه دوست دارید بگذارید.

نوشته شده توسط shahin در ساعت

گزارشی از سال های پس از کوانتم قدیم (1926-1936) 4

ترکیب سیستم های کوانتمی

 

با توجه به این که هدف از نگاشتن این متن رسیدن به پارادکس EPR و پایان دوره ی کوانتم جدید در سال 1936 است پس از آزمایشگاه ها و بررسی طرح اصلی کوانتم و صرف نظر کردن از اصول ریاضی آن سریع به سراغ ترکیب سیستم ها می رویم.

 

یک سیستم کوانتمی همیشه قابل تجزیه به چند سیستم کوانتمی نیست گرچه گاهی این گونه می شود (الکترون: اسپین الکترون + مکان آن) ولی همیشه می توان سیستم های کوانتمی را با هم ترکیب کرد و به جای بررسی چند سیستم کوانتمی یک سیستم کوانتمی مرکب (پس قابل تجزیه است) combined system را بررسی کرد. مشاهده پذیرهای سیستم مرکب اجتماع مشاهده پذیرها (همچنین دستگاه ها) و تعداد ویژه حالت های یک نمایش آن نیز حاصل ضرب تعداد ویژه حالت هاست. خیلی ساده؛ اصل ضرب. اگر سیستم A بتواند در n ویژه حالت یک دستگاه قرار گیرد و سیستم B در m ویژه حالت یک دستگاه قرار گیرد سیستم مرکب A+B می توند در nm حالت مختلف قرار بگیرد.

 

با اسپین دو الکترون ادامه می دهیم، یکی A و دیگری B. دستگاهی که در اختیار داریم اسپین را در جهت عمودی اندازه می گیرد. هر کدام در نمایش عمودی دو ویژه حالت دارند و A+B چهار ویژه حالت:

 

همان گونه که گفته شد A+B با دو مشاهده پذیر قابل نمایش است: اسپین A و اسپین B. احتمال گذار برای حالت های این سیستم مرکب به سادگی از احتمال گذار اجزایش قابل به دست آوردن است. مثلا اگر A در حالت sA باشد که احتمال گذار آن به بالا .5 باشد و B در حالت sB باشد که احتمال گذار آن به بالا .4 باشد، با توجه به این که این دو سیستم به صورت مستقل از هم و جدا رفتار می کنند، احتمال گذار A+B از حالت اولیه ی sA-sB به حالت آ-آ ضرب دو احتمال است که می شود .2 یعنی دو رویداد تصادفی که از هم مستقل هستند.

 

از آن جایی که مشاهده پذیر هر دو سیستم از یک جنس است (اسپین) می توان این دو مشاهده پذیر را جمع کرد و یک مشاهده پذیر از همان جنس به دست آورد که اسپین سیستم مرکب A+B را نشان می دهد (یادآوری می کنم اسپین به گونه ای معرف یک میدان مغناطیسی بود). پس اگر A در ویژه حالت بالا باشد یعنی اسپینش دقیقا +1 باشد و B نیز در ویژه حالت بالا باشد و اسپینش دقیقا +1 باشد اسپین سیستم A+B نیز در ویژه حالت آ-آ خواهد بود و مقدارش نیز دقیقا +2 خواهد بود. تا این جا هیچ مطلب تازه ای نیست جز این که مشاهده پذیرهای هم جنس با هم ترکیب شده اند و مشاهده پذیر سیستم مرکب را تعریف کرده اند.

 

هرگاه که سیستم A در یک حالت باشد و B نیز در یک حالت باشد A+B نیز در یک حالت است و هرگاه A+B در یک حالت باشد A در یک حالت است و همین طور B. داستان کمی پیچیده خواهد شد اگر دستگاهی وجود داشته باشد که به جای این که با اندازه گیری مستقل اسپین های دو سیستم و جمع آن ها اسپین کل را اندازه بگیرد، این کار را به صورت یک کنش با کل سیستم مرکب A+B انجام دهد. چون در این صورت این امکان وجود دارد که دستگاه مذکور A+B را به ویژه حالتی ببرد که هیچ کدام از A و B در هیچ حالتی نباشند. یعنی دیگر نتوان گفت A+B اجتماع دو سیستم است بلکه فقط آن را بتوان به عنوان یک کل بررسی کرد. در چنین حالتی می گوییم دو سیستم A و B جدایی ناپذیر inseparable هستند و هنگامی که دستگاه نو ظهور را هنوز نداریم می گوییم جدایی پذیر separable هستند. وقتی دو سیستم کوانتمی با کمک چنین مکانیسمی طوری به هم پیوند می خورند که دیگر نتوان آن دو را تجزیه کرد می گوییم آن دو سیستم در هم گیر کرده اند entangled و به این پدیده که در کمال تعجب در واقعیت هم روی می دهد می گوییم quantum entanglement .

 

وقتی دو سیستم در هم گیر نیفتاده اند distangled هر کدام از دو سیستم در حالت کوانتمی هستند و در نتیجه اسپین های آن ها معین definite و دقیق sharp است. سیستم مرکب نیز در حالت است و مقدار اسپین آن معین و دقیق است. ولی وقتی دو سیستم در هم گیر می افتند فقط سیستم مرکب در حالت است و اسپین معین و دقیق دارد و هر کدام از سیستم های A و B در هیچ حالتی نیستند و در نتیجه اسپین هایشان اصلا عدد نیست؛ نامعین indefinite و unsharp شده اند.

 پدیده ی در گیر شدن entanglement یکی از بغرنج ترین نقاط کوانتم است که خوش بینانه یا بد بینانه از آزمایش هم سالم بیرون آمده است. ولی در عین حال مشکلاتی که پدیده ی در گیر شدن برای علم و دنیای واقعیت ایجاد می کند بسیار عمیق و قابل تامل است که در بخش بعد به آن خواهیم پرداخت.

نوشته شده توسط shahin در ساعت