« طرح برایم چه معنایی دارد؟ | ص?حه اصلی | مارس 14 ؛ به مناسبت تولد اینیشتین »

متقارن ترین شئ چیست؟

مفهوم تقارن در فیزیک

 

مفهوم تقارن از زمان های بسیار کهن در هنر وجود داشته است. اما بیش از یک و نیم قرن نمی شود که مفهوم تقارن به صورت نمادین در تئوری های ریاضی وارد شده است. حتی نمی توان دقیقا ادعا کرد که تا حدود یک قرن پیش چنین مفهومی به صورت کاملا دقیق و نمادین بر اساس اصول موضوعه ی ریاضی تعریف شده است.

 

رویکرد به تقارن بسیار ساده و عمیق است. در تعریف مفهوم تقارن از چند مفهوم دیگر استفاده می شود. اول یک شئ ریاضی object که تقارن برای آن تعریف می شود و در حالت کلی یک مجموعه از اشیاء ریاضی مختصر است. دوم یک تبدیل transformation که نوع تقارن را مشخص می کند و در حالت کلی یک نگاشت mapping است که شئ ریاضی مورد نظر را به تصویرش image می نگارد. سوم اتحاد، یکی بودن identity که ذات مفهوم تقارن از آن سرچشمه می گیرد. با داشتن چنین مفاهیمی، تقارن symmetry یعنی یکی شدن تصویر یک شئ با خود آن شئ وقتی یک تبدیل روی آن صورت می گیرد. به عبارتی اگر یک شئ با انجام یک تبدیل به خودش تبدیل شود می گوییم نسبت به آن تبدیل تقارن دارد.

 

همان گونه که مشاهده می شود معنی تقارن در عمق مطلب پنهان است. این معنی همان یکی شدن identity می باشد. یعنی تقارن یک نوع یکی بودن است. گاهی اوقات درباره ی تقارن های یک شئ صحبت می شود. روشن است که منظور مجموعه ی تمام تبدیلاتی است که شئ نسبت به آن ها تقارن داشته باشد. بنابراین وقتی از تقارن دایره صحبت می شود یعنی همه ی تبدیلاتی که دایره را دایره کند. و گاهی درباره ی حالت های متقارن یک تبدیل. در این صورت منظور مجموعه ای تمام اشیاء متمایزی است که نسبت به تبدیل مورد نظر تقارن دارند. مثلا در یک دوران 60 درجه تعداد نا محدودی از اشیاء تقارن دارند؛ بینهایت فرم از دانه های برف، دایره، ....

 

تا پیش از سال های 1960 مفهوم تقارن به صورت دقیق و کاربردی وارد فیزیک نشده بود. یعنی تا پیش از این تقارن در مفهومی ترین حالت خود یک تعریف ریاضی بود و در عمل و دنیای واقعی تعریف و پیدا کردن و آزمایش آن دور از انتظار می نمود. اما در همین سال ها با آشکار شدن تقارن های پی در پی در مکانیک کوانتم و دنیای ذرات بدون گسترش (بدون بعد) فردی به نام ویگنر E. P. Wigner مفهوم تقارن را به عنوان یک کمیت فیزیکی مطرح ساخت. این فیزیک دان با شرح و بسط یک تئوری قدیمی ریاضی که ظاهرا هیچ ارتباط جدیدی با فیزیک ندارد راهگشای سال های آینده ی فیزیک ذرات بنیادی شد. وی در کتاب

 

Group Theory, E. P. Wigner, 1959 (Academic Press)

 

از ریاضیات گروه و تقارن برای رسیدن به این هدف استفاده کرد. با گذر از این نکته می توان گفت تقارن یک کمیت فیزیکی مانند هر کمیت فیزیکی دیگر است که قابل اندازه گیری و آزمایش است و نتیجه ی ان نیز یک عدد حقیقی (در حالت کلی تر مختلط) است. حتی فراتر این که چنین تقارن هایی می توانند با زمان تغییر کنند یا حتی پایستگی داشته باشند. اما تقارن هایی که در فیزیک وجود دارند از چه دست تقارن هایی هستند.

 

همان طور که پیشتر ذکر شد تقارن های هندسی آشنا ترین تقارن ها هستند. در این این گونه تقارن های شئ مورد نظر یک فرم هندسی (یک مجموعه نقطه) است و تبدیل نیز یک تبدیل هندسی (تبدیل نقاط در یک فضای مختصات) است. مثلا یک خط مستقیم دارای تقارن جابه جایی است که تبدیل تقارن در آن جابه جایی به اندازه ی محدود است. در چنین حالتی می گوییم شئ مورد نظر یعنی خط مستقیم نسبت به تبدیل یعنی جابه جایی همگن است، یا در واقع فرقی نمی کند خط را کجا قرار داده باشیم. خط مستقیم نسبت به معکوس کردن مختصات نیر متقارن است. یعنی اگر تمام نقاط نسبت به یک نقطه روی خط به نقطه ی مقابل بروند خط به خورد تبدیل می شود.

 

اگر به جای خط مستقیم یک شکل متناوب مانند خطوط راه آهن را در نظر بگیریم تبدیل هایی که شکل را به خودش می نگارند محدودتر می شود. دقیق تر این که فقط به ازای بعضی جابه جایی ها با اندازه ی مشخص شکل به خودش تبدیل می شود ولی شکل هنوز متقارن است و تقارن متناوب دارد.

 

با یک بررسی مختصر و استقرایی به سرعت می توان دریافت که تقارن های هندسی اشکال به ترکیبی از دوران، انتقال (جابه جایی)، معکوس کردن ایجاد می شوند. در همه ی این تبدیلات اندازه ی اشکال ثابت می ماند. ولی اشکال دیگری نیز قابل تصورند که در تبدیل های مقیاس شدنی نیز متقارن می مانند. چنین اشکالی را با نام فراکتال می شناسیم. [تقارن طرح پیش بهانه ای بود برای آماده کردن این متن] به عبارتی اگر تبدیل مورد نظر اندازه ها را در ثابت مشخصی ضرب کند آن گاه اگر شکل نسبت به این تبدیل متقارن باشد ناچار در مقیاس های معینی شکل عینا تکرار می شود. یکی از بهترین نمونه های تابع نمایی است. y = exp( x ) به سادگی مشخص که اگر بنویسیم y + exp( c ) = exp( x + c ) در این صورت تبدیل

 y2 = y + exp( c )

x2 = x + c

 

تابع را به خودش تبدیل می کند. یعنی اگر روی محور x به جلو رویم و همزمان محور y را فشرده کنیم همان شکل را خواهیم دید. بنابراین شکل از یک بعد خود دارای تقارن فراکتال است.

 

نمونه های پیچیده تر و البته معروف تر مثلث سرپینسکی، مجموعه ی مندل برت، ... هستند. تبدیل تقارن در مثلث سرپینسکی یک دوران 60 درجه به همراه یک مقیاس شدن به مرکزیت و میزانی مشخص است. ناگفته پیدا است که به خاطر وجود دوران 60 درجه در تبدیل تقارن چنین اشکالی باید شبیه دانه های برف باشند و البته همین گونه است.

 

به جز تقارن های هندسی تقارن های ملموس دیگری نیز وجود دارند، از جمله تقارن های زمانی. مثلا یک تابع که نسبت به زمان ثابت است دارای تقارن جابه جایی است و به عبارتی زمان برایش همگن می باشد. یا در تئوری سیستم ها اگر سیستمی نسبت به جابه جایی در طول زمان ثابت بماند time invariant (پاسخ آن نیز با جابه جایی زمانی جابه جا شود) متقارن است. به همین صورت توابع و سیگنال هایی که در طول زمان متناوب هستند دارای تقارن جابه جایی به مقدار مشخص طول تناوب می باشند. و یکی از جالب ترین تقارن های زمانی تقارن معکوس کردن زمان است. اگر رویدادی به گونه ای در طول زمان اتفاق افتد که با معکوس کردن جهت پیش روی زمان خودش نتیجه شود آن رویداد نسبت به معکوس کردن زمان متقارن است. که البته بسیار نادر است.

 

از آن جالب تر و البته کمتر قابل تجربه و لمس تقارن های زمانی با مقیاس زمان است. به عبارتی صریح تر رویدادی که در طول زمان فراکتال باشد. حتی پیدا کردن مشابه آن در واقعیت نیز کار سختی است. شاید بتوان به تاریخ اشاره کرد. تاریخ تا حدی دارای این ویژگی است که اگر در مقیاس های مختلف نظاره شود گاهی شبیه خودش می نماید [دنبال نمونه ی صدق نمی گردم]. اما جدا از مورد تاریخ اگر خواسته باشیم تابعی فراکتال نسبت به زمان داشته باشیم به توابعی از دست نمایی ها و توانی های می رسیم. مثلا اگر تبدیل در تقارن فراکتال زمانی مورد نظر این باشد که زمان جابه جا شود و همچنین رویداد نیز مقیاس شود می رسیم به تابع نمایی. اما اگر تبدیل این باشد که هر دوی زمان و رویداد مقیاس شوند به  توابع     توان       y = x^n می رسیم. همچنین اگر تبدیل مورد نظر مقیاسی با مقدار مشخص باشد (نه هر مقیاس) در حالت کلی رویدادی داریم که در بازه ی زمانی مشخصی روی داده است و پیشروی زمان در بازه های زمانی مقیاس شده ی بعدی نیز روی می دهد.

 

تقارن هایی که در پدیده ها و رویدادهای فیزیک وجود دارند نیز از همین دست تقارن های مکانی (هندسی) و زمانی هستند. یعنی گاهی در یک پدیده یک متغیر فیزیکی نسبت به تقارن های هندسی متقارن است یعنی با تبدیل های هندسی به خودش تبدیل می شود، به ویژه که معمولا این کمیت فیزیکی متقارن انرژی است. گاهی نسبت به زمان و گاهی تقارن های دیگری که نمونه های عینی آن در ذرات بنیادی وجود دارد. این آخرین تقارن به نام تقارن جایگشت permutation یا تبادل exchange شناخته می شود و به این معنی است که اگر در یک پدیده جای چند ذره را با هم تعویض کنیم همان پدیده را خواهیم داشت. تبدیل در این تقارن همان عمل جایگشت یا تعویض است. به طور مثال در مکانیک کلاسیک اگر دو جسم صلب یکسان با هم در کنش باشند پدیده ای خواهیم داشت که با عوض کردن دو جسم با همدیگر تفاوتی نخواهد کرد. گرچه در واقع یکسان بودن دو چیز عملی نیست ولی در مکانیک ذرات بنیادی با ذراتی رو به رو می شویم که به معنی واقعی یکسان هستند. جدای این مطلب تقارن جایگشت با نگاه دیگری نیز قابل طرح است. در توصیف ذرات بنیادی گروه هایی از آن ها می توان یافت که با جایگشت های خاصی از آن ها در آن گروه تمام پدیده های فیزیک بدون تغییر (متقارن) می مانند.

 

تقارن های مکانی و زمانی به صورت کلی تری نیز در فیزیک وجود دارند. این تقارن های به نام تقارن های دینامیک شناخته می شوند... [احساس می کنم بیهوده ادامه می دهم... یا شاید نمی توانم ادامه دهم...]

 [ولی نوشتن پرسشی خالی از ارزش نخواهد بود]متقارن ترین شئ چیست؟

نوشته شده توسط shahin در ساعت