« مرداد 1385 | ص?حه اصلی | مهر 1385 »

درباره ی ت?سیر در علم

درباره ی ت?سیر در علم

در طول تاریخ علم [طبیعی] کمتر واژه ی ت?سیر interpretation دیده می شود، به جز دوران معاصر و خصوصا مهم شدن ت?سیر برای تئوری کوانتم. دلیل نیز تا حدی روشن است. سعی خواهم کرد در این مورد توضیح بدهم.

ت?سیر در روش علمی به اختصار یک نگاشت بین (م?اهیم) یک تئوری علمی و واقعیت است. همان طور که پیش تر درباره اش گ?ته شد روش علمی به تعبیری یک روش معناشناسی و ارزش گذاری برای تئوری های صر?ا ریاضی بر پایه ی واقعیت است (که سعی دارند واقعیت را توضیح دهند و پیش بینی کنند). اعتبار و محدوده ی اعتبار برای یک تئوری (مدل) علمی توسط آزمایش ها تعیین می شوند.

اما سئوالی که پیش می آید این است که با توجه به علمی یا غیر علمی بودن یک تئوری (که با میزان توضیح، توجیه، پیش بینی و ابطال پذیری مشخص می شود) و با توجه به درست یا نادرست بودن آن (نتایج آزمایش ها) ت?سیر چه جایگاهی دارد؟ دلیل اهمیت کم ت?سیر تا پیش از تئوری کوانتم نیز عدم وجود جایگاه تعری? شده و الزامی برای آن است. در واقع ت?سیر پیش از این که در دوران معاصر مهم شود در تمام تئوری های علمی وجود داشته است اما به صورت ضمنی.

به طور مثال تئوری مکانیک نیوتنی (به همراه گرانش) یک تئوری علمی اثبات شده (در حوزه ای مشخص) است که حرکت اجسام نقطه ای در ?ضای سه بعدی در طول زمان را توضیح می دهد و پیش بینی می کند. در نگاه اول ت?سیر برای چنین تئوری بی معنی به نظر می رسد از آن جا که م?اهیم این تئوری خود عین (identity) واقعیت هستند که در قالب روابط ریاضی ظاهر شده اند ولی در حقیقت م?اهیم این تئوری مثل نقطه، ?صای سه بعدی، زمان، سرعت، نیرو، شتاب ... همگی م?اهیم انتزاعی ریاضی هستند که به خاطر ارتباط بسیار نزدیکشان به واقعیت و بسیار ملموس concrete بودنشان واقعیت به نظر می رسند.

 [البته برای درست بودن چنین گ?ته ای و آن چه در ادامه ی متن می آید دو ?رض درست گر?ته شده اند:

  1. وجود داشتن واقعیت یا آن چه جز ما باشد.

  2. ریاضی بودن واقعیت. که البته ?رض بسیار غیر بدیهی و بزرگی است.]

به عبارت دیگر م?هوم نقطه با م?هوم متقابلی counterpart در واقعیت متناظر است که [اجازه دهید بگوییم متناظر-نقطه] گرچه آن نیست ولی در حوزه ای مشخص بسیاری از ویژگی های آن را دارد و به نوعی م?هوم واقعی متناظر را تقریب می زند. متناظر-نقطه در متن واقعیت وجود دارد و وقتی آن را از واقعیت انتزاع می کنیم دیگر آن نیست. بنابراین ت?سیر مکانیک نیوتنی بسیار تجربی، ضمنی و پیش تر از خود تئوری می باشد. در واقع ت?سیر آن در طول چندین قرن قبل از خود تئوری ایجاد شده است. از زمانی که انسان ها به درجه ای از انتزاع رسیده اند که م?هوم حرکت، سرعت، نیرو و حتی نقطه و ?ضا و زمان را به صورت آهنجیده درک کنند (درک این م?اهیم برای ما بدیهی است چون به ما منتقل شده است). نمونه ی دیگری که می توان در ت?سیر مکانیک نیوتنی پیدا کرد تناظر بین زمان مطلق و متناظر-زمان است که اساسا یکی به نظر می رسند. م?هوم زمان آن هم به صورت مطلقش در دوران یونان قدیم و ارسطو انتزاع شده است و نیوتن به عنوان یک تناظر پیش ?رض گر?ته شده (ضمنی) از آن است?اده کرده است اما با اثبات تئوری نسبیت اینیشتین نشان داده شد که زمان مطلق با زمان-متناظر دقیقا یکی نیست. نتیجه ای که نسبیت داشت تقریب بهتر واقعیت زمان بود آن هم با م?هوم انتزاعی تر دیگری به نام زمان نسبی. طبیعی است که متناظر-زمان دقیقا با زمان نسبی هم یکی نباشد.

نمونه های دیگری از ت?سیر در ?یزیک قدیم وجود دارد که پس از اثبات تئوری به وجود آمده اند، به طور مثال ت?سیر انتروپی و اصل ا?زایش انتروپی در ترمودینامیک و مکانیک آماری. اصولا ت?سیر همیشه وقتی اهمیت پیدا کرده است که یک م?هوم ریاضی که قاعدتا باید با واقعیت در تناظر باشد با پدیده ی تجربی و ملموسی مرتبط نباشد. چنین م?هومی از این نظر باید با واقعیت در تناظر باشد که اول، از عناصر-نتایج ریاضی تئوری علمی ثابت شده است و دوم، م?اهیم اولیه ی آن تئوری علمی یک سری م?اهیم ملموس بوده است. به طور مثال م?اهیم اولیه ی ترمودینامیک که گرما، کار، حجم، دما، ?شار، ... و حتی م?اهیمی چون تبادل گرما از جسم گرم به سرد همگی با تجارب روزمره تناظر و موا?قت دارند ولی هنگامی که این م?اهیم به صورت ریاضی بررسی شوند نتیجه ای مانند انتروپی به همراه دارند که متناظری counterpart در واقعیت ندارد. چیزی که درنهایت به عنوان متناظر انتروپی معر?ی شد بی نظمی بود. این نکته هم بسیار جالب است که م?هوم بی نظمی در آن زمان اصلا آهنجیده نبود و بعد در تئوری مکانیک آماری و بعدها به صورت آهنجیده تر در ریاضی وارد شد.

به طور طبیعی تا کنون هیچ ت?سیری نگاشتی یک به یک و پوشا بین ریاضی و واقعیت نبوده است، معمولا و به ویژه در دوره ی علمی معاصر ت?اسیر در سمت تئوری ریاضی خود م?اهیمی داشته اند که با واقعیتی تجربی در تناظر نبوده است (یادآوری: انتروپی) و البته بر عکس این هم امکان پذیر است ولی معمولا اهمیت کمتری دارد. به عنوان مثال در تمام تئوری های آماری ?یزیکی (از بازی های شانس و احتمالات، مکانیک آماری کلاسیک تا مکانیک کوانتم و ...)  همیشه یک نقص و ابهام در ساختار واقعیت شناسی احتمال و شانس وجود داشته است تا زمانی که اصول موضوعه ی مکانیک آماری در ابتدای قرن بیستم (گیبس) و اصول موضوعه ی احتمال ریاضی سه دهه بعد (کلموگر?) از هم ت?کیک شدند و ابهام ر?ع شد ولی مسئله ی جدی تر یعنی ت?سیر شانس در مکانیک آماری به جای خود باقی ماند. یعنی شانس در واقعیت با چه چیزی در دنیای م?اهیم ریاضی در تناظر است. بیان دیگری از این نقص ت?سیر تئوری های آماری این است: چنین تئوری هایی با یک سری اشیاء ریاضی به نام توزیع ها سر و کار دارند (که البته با نام های تابع موج، تابع حالت، بردار حالت، تابع توزیع انرژی، ... هم شناخته شده اند) که صر?ا یک تابع بر حسب یک کمیت ?یزیکی است ولی در واقعیت نتیجه آزمایش ها هر مقداری از آن کمیت می تواند باشد و ?قط در تعداد بزرگ آزمایش ها تعداد نتایج با مقداری مشخص، با مقدار تابع توزیع آن تقریبا متناسب است. یعنی این تئوری ها برای واقعیت یک نمونه تصاد? دلیل ریاضی ندارند و ?قط در تعداد بزرگ نمونه ها میانگین ها را پیش بینی می کنند.

همان طور که گ?ته شد چنین عدم تناظر هایی در ت?اسیر اهمیت زیادی نداشته اند، به این دلیل که دامنه ی محدود و در نتیجه برد محدود تئوری های علمی همیشه موجب توجیه و پیش بینی پدیده ها در همان محدوده بوده است و این دست عدم تناظرها در کل به همین محدودیت مربوط می شود. به همین خاطر گرچه مکانیک نیوتنی م?اهیم متناظری برای الکترومغناطیس، ترمودینامیک، .. ندارد ولی هیچ گاه این نقص در تناظر با واقعیت به آن گر?ته نمی شود. در مورد احتمال و شانس هم تا زمان ظهور تئوری کوانتم چنین تصور می شد که [یک نظر عمده در بین دانشمندان] شانس صر?ا نتیجه یک سری تغییر و حرکت پیچیده است که همگی دارای قانون ?یزیکی هستند و بنابراین اگر چه این قوانین برای ما روشن نباشد ولی در حوزه ی یک تئوری دقیق تر قابل ت?سیر است.

نکته ی دیگری که در ارتباط با ت?سیر در علم جالب توجه است بدون ت?سیر بودن اصول موضوعه ی بعضی تئوری های جدید است. با شروع دوران جدید در ?یزیک به ویژه در تئوری نسبیت و کوانتم اصول ?یزیکی principle کم کم از صورت بدیهی، تجربی، راضی کننده و ناظر به واقعیت به شکل اصول موضوعه postulate درآمدند که عموما با تجربه ای در ارتباط نبودند (یکی بودن سرعت نور، گسسته بودن انرژی، ...)، دلیل راضی کننده ای برای واقعیت و حتی شهود-سازگار نبودند. سئوالی که پیش می آید این است که آیا چنین ?رض های ریاضی ای با واقعیتی ت?سیر خواهند شد یا این که تئوری های جدید باید همواره سعی بر این داشته باشند که م?اهیم قبلی را توضیح دهند (ریاضی) و در عوض انبوهی از اصول بدون ت?سیر بر جای گذارند.

حتی با ?رض وجود واقعیت و ریاضی بودن آن نمی توان از نقش انسان به عنوان م?سر تئوری های ریاضی صر? نظر کرد. در عمل آن چه که تناظر بین یک تئوری علمی و واقعیت را برقرار می کند انسان است. انسان با مجموعه ی مشخصی از پدیده ها آشنا است که هر ت?سیری به طور مستقیم یا غیر مستقیم باید تئوری ها را به م?اهیم این مجموعه ی پدیداری متناظر کند. این مجموعه ی پدیداری که منظری از  یک گوشه ی کوچک واقعیت است با قطعیت بالایی برای تمام انسان ها یکی است.

محدود بودن مجموعه ی پدیداری انسان سبب می شود که در دوره ی جدید چندین حقیقت نظری به صورت غیر مستقیم به یک پدیدار برای انسان تاویل شود. یک نمونه ی تاریخی این مطلب ?رض وجود اتم ها در مکانیک آماری و نظریه ی جنبشی در ابتدای قرن بیست بوده است. نتایج این تئوری ها گرچه درست، واقعی و بر پایه ی ?رض وجود اتم ها است اما ت?سیری برای اتم های نادیدنی ارائه نمی دهد (البته تعداد زیادی ?یزیک دانان آن دوران به پیش گامان تئوری از جمله بولتزمان این ایراد را وارد می کردند که ?رض وجود چیزهای نادیدنی در علم اشتباه است). چند سال بعد ضمن انتشار مقاله ی اینیشتین درباره ی حرکت بروانی و آزمایش پرین در این مورد واقعیت وجود اتم ها به تدریج پذیر?ته شد اما ت?سیری که هم اکنون برای چنین موجوداتی داریم چیزی جز حرکات پر ا?ت و خیز ذرات معلق در سیالات ناشی از حرکت کاتوره ای آن ها نیست. به عنوان مثالی دیگر م?هوم زمان نسبی هیچ گونه جنبه ی پدیداری جدیدی به همراه ندارد، به عبارتی برای ت?سیر آن، همان طور که زمان مطلق را به دریا?ت طبیعی انسان از زمان می نگاریم، باید همان دریا?ت طبیعی را متناظرش بدانیم. بنابراین م?اهیم نظری زیادی به یک جنبه ی پدیداری (مشاهده-دریا?ت-?هم) نگاشته می شوند.

بنابراین می توان نمای کلی تئوری-ت?سیر-واقعیت را به این صورت طرح کرد:

 

تئوری

ت?سیر

واقعیت

م?اهیم

انسان

پدیدارها

م?هوم ذهنی

واقعیت ملموس

م?هوم عینی

م?هوم-دریا?ت-مشاهده

مشاهده

مشاهده-آزمایش-?رایند

 

و توضیح بیشتری در مورد دو ردی? آخر:

همان طور که قبلا گ?ته شد انتزاع و ?هم در سه مرحله-لایه ی مشاهده (در تناظر با عصب)، دریا?ت (در تناظر با روان) و م?هوم شکل می گیرد و هر چه از مشاهده به سمت ?هم دور می شویم چیزها نادیدنی تر، [به این خاطر که] تجریدی تر، ذهنی تر subjective، ریاضی تر می شوند.

از طر? دیگر واقعیت تئوری های علمی توسط سطح-لایه های مشاهده observation (ساده ترین آزمایش های طبیعی که با مشاهده صورت می گیرند، بدون ابزار اندازه گیر)، آزمایش measurement (یک لایه ی واسط بین انسان و واقعیت مورد بررسی. این واسط یک ابزار اندازه گیری است) و ?رایند process (لایه ی دیگری بین انسان و واقعیت اصلی که آزمایش را نیز از آن جدا می کند. به این معنی که واقعیت مورد بررسی در ?رایند پیچیده ای موجب نتایج ثانویه و تاثیراتی که توسط ابزار اندازه گیری قابل ثبت است می شود) آزمایش می شوند. هر چه از مشاهده به سمت ?رایند دور شویم چیزها نادیدنی تر، [و بنابراین] سخت-ت?سیر تر و غیر ملموس تر و ذهنی تر می شوند. این ادعا که چنین چیزهایی ذهنی تر می شوند بر این اساس است که عموما در ت?سیر با چیزهای ذهنی متناظر می شوند و البته کم معنی بودن ت?سیر آن ها از همین جا ناشی می شود که مسیر تناظر بسیار طولانی است. [مثال تئوری کوانتم بررسی می شود]  

به عبارتی می توان طی?ی از عینیت برای م?اهیم قایل شد که هر چه آن چیز از دیدرس انسان یا به عبارتی مجموعه ی پدیداری و واقعیات ملموس دورتر شود ذهنی تر می شود و در آن پدیدارها و تجربه های روزمره عینی objective ترین ها هستند. در این صورت عینیت [تاکید: در این پارادیم] صر?ا به ملموس بودن و تجربی بودن empirical تبدیل می شود و معنی خود را در ?یزیک آینده ر?ته ر?ته از دست خواهد داد.

با توجه به چنین نمایی از وضعیت روش علمی (و البته خیلی روش ها و شناخت های دیگر) که تاریخ علم خود گواه آن است می توان کم رنگ شدن انسان و ت?سیر را در شناخت مشاهده کرد. ولی انسان به خاطر داشتن لااقل دو نقش مهم در این نمایه غیر قابل حذ? است. یک، انتزاع و صورت بندی formulation تئوری های علمی و  دو، طرح آزمایش و در کنار هم آوردن آن چه برای اثبات یک تئوری (ریاضی) لازم است. بدون وجود انسان حتی اگر ?رض شود تئوری های ریاضی وجود دارند هیچ راهی و الزامی برای اثبات این ها وجود ندارد. همین نقش انسان محدود می کند آن چه واقعیت می تواند باشد؛ انسان گرچه با واقعیت اصلی به اندازه ی اعصاب و اندازه گیرها و ?رایند ها و  ... ?اصله دارد ولی از واقعی بودن هر تئوری ریاضی جلوگیری می کند.

 

مثال تئوری کوانتم برای مشاهده-آزمایش-?رایند:

یکی از ت?اسیری که برای تئوری کوانتم داده شده است به ت?سیر اینیشتین-بورن معرو? است و مطابق با این ت?سیر پدیده های تصاد?ی در مکانیک کوانتم صر?ا حاصل یک سری تغییرات در سطوح زیرساختاری و زیر-کوانتم-مکانیکی ماده است که با پیچیدگی های بسیاری همراه شده است.

اگر چنین باشد ?رایند های زیر-کوانتم-مکانیکی ماده نه تنها برای انسان بلکه برای وسایل اندازه گیری نیز غیر قابل مشاهده است و البته به همین خاطر نمی توان چنین ت?سیری را در حال حاضر آزمایش کرد. ولی هر چه که باشد تاثیر چنین ا?ت و خیز های زیر-کوانتم-مکانیکی پدیده هایی در سطح کوانتمی است که به طور تصاد?ی رخ می دهند که البته قابل تبدیل به سیگنال های اندازه پذیر هستند و مثلا توسط ولت متر ها و ... اندازه گیری می شوند.

در نوع دیگر بررسی حتی می توان دستگاه های اندازه گیری ای مانند ولت متر را نیز یک ?رایند (الکترومغناطیسی) دانست که منجر به پدیده های قابل اندازه گیری توسط سیستم (مکانیکی) ?نر-قاب-عقربه می شود.

نوشته شده توسط shahin در ساعت

گزارشی از منطق ریاضی

 

منطق مورد بررسی روش های شناختی قرار گر?ته است و آن چه در دانش عنوان منطق را حمل می کند عمدتا حاصل چنین بررسی هایی است. به عبارتی منطق بیش از آن چه یک مقوله ی من?رد  و یک روش باشد موضوع روش های گوناگون بوده است. از قدیمی ترین و مهم ترین این ها می توان از منطق ?لس?ی philosophical logic (منطق مورد بررسی روش ?لس?ی) و منطق ریاضی mathematical logic (و همچنین...) نام برد. گرچه با پیدایش و ا?زایش اهمیت روش های دیگر منطق موضوع روش ها دیگر نیز شده است (بیشتر روش های تجربی، واقع و نتیجه گرا) اما هنوز می توان تمام روش شناسی های منطق را در قالب این دو قرار داد.

منطق در دسته بندی دیگری از نظر محتوا information و صورت form در دو حالت صورت گرا formal یا محتوا گرا informal تقسیم می شود. در استدلال

اگر "باران بیاید"، "زمین خیس می شود"

"باران آمده است"

بنابراین "زمین خیس است"

اگر به جای جملات داخل نشان گیومه جملات دیگری قرار بگیرد استدلال همچنان درست خواهد بود و پس می توان چنین استدلالی را صر? نظر از محتوایی که می رساند و جملات آن به کار برد. در حقیقت چیزی که می تواند در یک استدلال جای یک جمله بنشیند (نمایندگی) و درستی استدلال را صر? نظر از جملات ح?ظ کند صورت استدلال است. منطق صورت گرا خود در حالت صورت گرایی تام به منطق نمادین symbolic logic تبدیل می شود که در آن نماد ها برای تمام آن چه بیان می شود نماینده هستند و درستی استدلال ها کاملا مستقل از چیزی خواهد بود که نماد ها می نمایند. منطق نمادین  همان منطق ریاضی است.

[متاس?انه برای گزارشی از روش ریاضی و پایه های آن موقعیت مناسبی نیست]

در روش ریاضی چهارچوب هر منطق در حالت کلی از سه شی ریاضی تشکیل شده است:

  1. یک زبان نمادین formal (symbolic) language یا یک واحد نحوی که در آن توالی نماد ها طبق قواعد نحوی syntax rules واحد های بزرگ تر آن زبان را، گزاره proposition (جمله sentence) را می سازند. هر توالی در چنین زبانی یک جمله ی درست نحوی نخواهد بود. جملات درست ساخته شده ی این زبان با عنوان regular expression یا well-formed formula (wff) شناخته می شود.

  2. یک دستگاه منطقی برای استنتاج جملات نتیجه از ?رض ها. این دستگاه استنتاجی formal deduction system مجموعه ای است از اصول منطقی logical axiom و چند قاعده ی استنباط rules of inference. این دستگاه ریاضی نیز مانند قبلی (زبان نمادین) قسمتی از واحد نحو syntetical unit منطق مورد نظر خواهد بود. از این رو که با نماد ها و قواعدی کار می کند که مستقل از معنای آن ها می باشند.

  3. یک ارزش دهی valuation، تعبیر interpretation، معنادهی semantics، ساختار ریاضی structure، مدل model یا دنیای سخن domain of discourse (هر کدام از این واژه ها در بخش های مختل? منطق ریاضی مورد است?اده قرار می گیرند و همگی در تناظر با قسمت سوم هستند)  [در ادامه ی متن معنا semantic در کل به چنین قسمتی از یک منظق اشاره می کند]. این واحد از یک منظق ریاضی به واسطه ی معنایی که به نماد ها و جملات می دهد از دو واحد دیگر که نحوی syntetic بودند متمایز می شود.

در منطق های ریاضی دستگاه منطقی و معنادهی متمایز کننده هستند از آن جایی که زیان نمادین در تمام منطق ها مشابه است و علاوه بر آن زبان نمادین به تنهایی ویژگی مشخص یک منطق ریاضی خاص نیست. طرح کلی یک زبان نمادین به این صورت است:

نمادهای جمله ای می توانند به موجودات مشخصی در یک semantics اشاره کنند مثلا نماد Soc به سقراط در دنیای انسان ها و نماد 0 به عدد ص?ر در دنیای (domain of discourse) حساب اشاره می کنند، به این ها نماد های ثابت constants گ?ته می شود. در وضعیت مقابل ممکن است یک نماد نماینده ی هر موجودی از semantics باشد که در آن صورت آن را متغیر variable می خوانیم. مثلا در عبارت x=5 نماد x با هر موجودی از semantics قابل جایگزینی است و همان طور که می دانیم ?قط به ازای نمایندگی 5 این عبارت درست خواهد بود. با توجه به این مطلب هر عبارتی در زبان نمادین قابل ارزش دهی توسط semantics نیست مثلا نماد 5 درست یا غلط نخواهد بود ولی جمله ی "سقراط انسان است" قابل ارزش دهی است. کوچک ترین واحد زبانی که توسط یک semantics قابل ارزش دهی است ?رمول تجزیه ناپذیر atomic formula نامیده می شود. ?رمولی قابل ارزش یابی که درست یا غلط بودن آن دقیقا مشخص است (یعنی متغیر ها در همیشه درست یا همیشه غلط بودن آن نقشی ندارند) جمله sentence یا گزاره proposition نامیده می شود، در غیر این صورت گزاره نما یا formula.

تا این جا زبان نمادین و semantics رابطه ی متقابلی در بیان گزاره ها و ارزش یابی درستی آن ها در یک دنیای سخن خاص داشتند. اکنون نقش دستگاه منطقی در این مرحله مشخص می شود؛ کار دستگاه منطقی نتیجه گیری درست یا غلط بودن جملات (در یک semantics خاص) بر اساس درست-غلط بودن جملاتی دیگر است و نه بر اساس آن چه از semantics می آید. البته این نتیجه باید با semantics یکی باشد در غیر این صورت با دستگاه منطقی نادرستی روبه رو هستیم. یک دستگاه منطقی شامل موارد زیر است:

·         مجموعه ای از ?رض ها (جملات) در ارتباط با یک domain of discourse که درستی آن ها را در آن domain of discourse ?رض گر?ته ایم. به این جملات مجموعه ی ?رض ها premises می گویند. اگر ?رض ها های یک دستگاه منطقی مجموعه ای ثابت باشند عنوان اصول موضوع axiom را به آن ها می دهیم.

·         مجموعه ای از اصول منطقی logical axiom که صر? نظر از یک منطق ریاضی خاص و یک زیان نمادین متمایز یا اصول موضوع وجود دارند و درستی آن ها را می پذیریم. به طور مثال قانون طرد شق ثالث exclusion of third middle که به صورت "p درست است یا ~p درست است" بیان می شود (~ نماد نقیض است).

·         چند قاعده ی استنباط rules of inference برای نتیجه گیری های منطقی. به طور مثال قاعده ی قیاس یا وضع مقدم modus ponen که ساده ترین و متداول ترین قاعده ی استنباط هستند: p => q  &  p آن گاه q نتیجه می شود.

مجموعه ی اصول منطقی و قواعد استنباط دارای یک ماهیت هستند و آن خود منطقی است که می شناسیم و وجود لااقل یکی از این ها در هر دستگاه استنتاجی الزامی است ولی می توان یکی از آن ها را حذ? کرد.

اهمیت دستگاه استنتاجی نه تنها در منطق ریاضی بلکه در تمام علوم واضح است؛ درستی تعداد محدودی از گزاره ها قابل ارزیابی و آزمایش در دنیای سخن یا حتی دنیای واقع است. مطلوب است بتوانیم تمام آن چه قابل ارزیابی و دانستن است را از تعدادی گزاره و قاعده نتیجه بگیریم (چه در روش ریاضی و چه در روش علمی) به این صورت نقش آزمایش در تئوری ها کمتر خواهد شد و همه چیز به سمت مختصر شدن در گزاره پیش خواهد ر?ت [reductionism] و البته بررسی درستی چنین تئوری هایی نیز ساده تر خواهد بود (بررسی زبانی).

منظق ریاضی که یکی از موضوعات ریاضی است خود یکی از پایه ی های ریاضیات به شمار می آید (به همراه نظریه ی اصل موضوعی مجموعه ها) بنابراین منطق های ریاضی از این نظر که چه قدر در ریاضی نقش دارند (به عنوان سنگ بنای ریاضیات) به دو دسته تقسیم می شوند:

دسته ی دوم دقیقا آن چیزی است که بیشتر با نام منطق ریاضی شناخته شده است. این دسته شامل موضوعاتی از ریاضی است که درباره ی روش ریاضی (منطق مورد است?اده ی آن)، اثبات در ریاضی، م?اهیم بنیادی ریاضی و البته خود ریاضی بحث می کنند. منطق ریاضی [از این پس حرو? ایتالیک (کج) به این منطق خاص اشاره دارد] که در دسته ی دوم آمده است انواع مختل?ی از نظر پیچیدگی دارد: منطق گزاره ها propositional logic (جمله ها) یا منطق مرتبه ی ص?ر، منطق محمولی predicate first order logic یا منطق مرتبه اول، منطق مرتبه دوم و مراتب بالاتر. موقتا بحث در ارتباط با منطق ریاضی کنار گذاشته و به سراغ چند نمونه منطق عمومی می رویم؛ جزایری منطقی در اقیانوس ریاضی.

منظق های عمومی گسترده تر از آن هستند که قابل تعیین باشند در حقیقت این ها هر کدام یک تئوری ریاضی هستند که یک منطق ?لس?ی یا روزمره را مدل می کنند و  به واسطه ی داشتن عناصر اساسی یک منطق با این عنوان طبقه بندی شده اند. این تئوری ها هر کدام به طور من?رد و مستقل از دیگر منطق ها بررسی می شوند و عموما هر کدام کاربرد خاصی دارند. به طور مثال منطق ?ازی fuzzy logic، منطق وضعی modal logic، combinatory logic، quantum logic و ...

هر کدام از این منطق ها ویژگی خاصی به همراه دارند. به طور مثال در منطق چند ارزشی multi-valued logic بر خلا? منطق ریاضی و خیلی از منطق های ریاضی دیگر تابع ارزش یاب (که جملات تجزیه ناپذیر را ارز یابی می کند) ?قط به دو ارزش (درست، نادرست) نمی نگارد. بنیان گذار این منطق لوکاسیویچ است. حتی این امکان وجود دارد که تابع ارزش یاب به پیوستاری از اعداد حقیقی بنگارد که مهم ترین ویژگی منطق ?ازی می باشد. بنیان گذار این منطق لط?ی زاده است. بنابراین دو ارزشی بودن یا بولی Boolean logic بودن منطق یک ویژگی برای آن است نه یک منطق جدا گانه، البته در ریاضیات.

منطق کوانتمی نیز مانند منطق های چند ارزشی است ولی نه با یک تابع ارزش یاب با برد مشخص. چنین منطق هایی شبکه ای lattice از گزاره ها دارند که از نظر ارزش قابل ترتیب هستند. دیگر ویژگی مهم این منطق نبود قانون توزیع و & ، یا |   نسبت به هم است. یعنی این منطق در اصول منطقی دستگاه خود با بقیه ی منطق ها ت?اوت دارد. بنیان گذاران این منطق Birkhoff & Neumann هستند.

منطق ترکیبی combinatory logic منطقی است که در آن نیاز به وجود متغیر ها حذ? شده است و برای پیاده سازی منطق روی ماشین های کامپیوتری بسیار مناسب است. بنیان گذار این منطق Haskell Brooks Curry است.

منطق شهودی intuitionistic logic یا منطق سازنده constructivism logic به جز نگرش بسیار مت?اوتی که در قیاس با منطق ریاضی معمول به ریاضی دارد بسیاری از توانایی های منطقی یک دستگاه استنتاجی را ندارد. به طور مثال نبود قانون نقیض نقیض که در ریاضیات به ویژه در روش اثباتی برهان خل? بسیار آشنا است از آن جمله است. بنابراین اگر در منطق شهودی نقیض گزاره ای نادرست باشد آن گزاره لزوما درست نخواهد بود. همین جا ت?اوت عمده ی دیگری با منطق های دیگر پیدا می شود و آن امکان نامعین بودن درستی گزاره هاست. به عبارتی از نظر یک شهود گرا این امکان وجود دارد یک گزاره نه درست باشد و نه نادرست و در نتیجه قانون طرد شق ثالث یکی دیگر از حذ?یات این دستگاه استنتاجی است. منطق شهودی توسط Arend Heyting بنیان گذاری شد و گرچه در اوایل قرن بیستم یکی از گزینه ها برای بنیان ریاضی بود (یا منطق ریاضی بودن) ولی بسیار زود کنار گذاشته شد.

منطق وضعی modal logic منطقی بسیار کهن است که از زمان ارسطو بنیان گذاری شده است و در دوره ی معاصر زیر همین عنوان در ریاضی مدل شده است و در دسته ی منطق عمومی قرار می گیرد. در منطق وضعی دو عملگر وضعیت برای گزاره ها در نظر گر?ته می شود (الزامی به دو گانگی بودن وضعیت وجود ندارد). یکی برای الزام و دیگری برای امکان. بنابراین در چنین منطقی اول در زبان نمادین دو نماد جدید برای عملگرها و قواعد نحوی که آن ها را شامل شود وجود دارد، دوم در دستگاه استنتاجی قواعد استنباط جدیدی مختص عملگرهای الزام و امکان اضا?ه شده است به طور مثال اگر M نماد عملگر الزام و L نماد امکان و ~ نماد نقیض قاعده ی و p یک گزاره، قواعد جدید زیر را خواهیم داشت:

Mp = ~L~p

Lp = ~M~p

در معنا دهی و ارزش دهی وضعیت به کل مت?اوت از دیگر منطق هاست. صورت ریاضی این منطق توسط Lewis بنیان گذری شد.

نوشته شده توسط shahin در ساعت

منطق ریاضی؛ گزارشی بسیار کوتاه در مورد درستی

منطق ریاضی؛ گزارشی بسیار کوتاه در مورد درستی

 

با منطق گزاره ها شروع می کنیم.

زبان نمادین بسیار ساده و آشنا است؛ ترکیب درستی از نماد های گزاره ای A, B, C, … و رابط های جمله ای "و"، "یا"، "آنگاه"، "نقیض"، ...

دستگاه استنتاجی وجود ندارد ولی ممکن است مجموعه ی ?رض ها هنوز در دستگاه استنتاجی باقی باشند.

معنا semantics وجود ندارد و ?قط ارزش یابی valuation آن هم دو ارزشی دارد.

اگر ارزش منطقی یک گزاره با ارزش دهی خاصی درست true شود می گوییم آن ارزش دهی گزاره را ارضا کرده satisfied است. مثلا با ارزش دهی A = true, B = false گزاره ی "B یا A" ارضا می شود.

برای یک مجموعه از گزاره ها به عنوان مجموعه ی ?رض ها و یک گزاره ی p می گوییم p نتیجه ی توتولوژیک tautological implication مجموعه ی ?رض هاست اگر هر ارزش دهی که مجموعه ی ?رض ها را ارضا کند p را نیز ارضا کند. اگر گزاره ی p و q هر دو همدیگر را نتیجه بدهند می گوییم معدل توتولوژیک tautologic equivalent هستند. اگر گزاره p بدون یک مجموعه ی ?رض برای هر ارزش دهی ممکن ارضا شود می گوییم p یک توتولوژی منطق گزاره ها است.

گزاره ی p را مستقل توتولوژیک tautological independent از مجموعه ?رض می نامیم اگر نه p و نه نقیض آن از مجموعه ی م?روض نتیجه نشوند. گزاره ی p را با مجموعه ی م?روض سازگار consistent می گوییم اگر نقیض آن نتیجه نشود. مجموعه م?روض را سازگار می گوییم اگر هیچ گاه هر دوی p و نقیض آن را نتیجه ندهد. می توان به سادگی نشان داد از یک مجموعه ی م?روض ناسازگار هر جمله ای نتیجه می شود؛ هم p و هم نقیض آن البته اگر p از مجموعه ی م?روض مستقل نباشد. بنابراین در کل می توان گ?ت هر گزاره ی p

یا از مجموعه ی م?روض نتیجه نمی شود (همچنین نقیضش) که مستقل خواهد بود

یا p نتیجه می شود

یا نقیض p نتیجه می شود.

 

و در این قسمت با منطق مرتبه ی اول که مهم ترین نوع منطق ریاضی است ادامه می دهیم.

زبان نمادین زبان قبلی است با دو تغییر مهم. یکی قرار گر?تن محمول ها predication به جای نماد های گزاره ای است و دیگری اضا?ه شدن نماد سور ها quantification است. predication ها همان ?رمول های تجزیه ناپذیر atomic formula هستند که قابل ارزش دهی می باشند. به طور مثال 2=3 یا 2<3 محمول هستند ولی 2 یک محمول نیست. در همین ارتباط برای هر منطق محمولی مرتبه اول یک یا چند نماد محمولی وجود دارد مانند نماد تساوی = یا نماد عضو چیزی بودن یا ... هر نماد محمولی بر اساس این که چند متغیر یا ثابت برای کامل شدن محمولش predication لازم دارد تقسیم بندی می شود مثلا نماد تساوی دو موضعی است.  سور ها نیز نماد های آشنایی هستند؛ سور عمومی universal quantifier با نماد A واران شده و سور وجودی existential quantifier با نماد E واران شده. سور ها همیشه به همراه یک متغیرمی آیند مثلا در Ex x=5 متغیر x مورد quantification قرار گر?ته است. متغیری که در یک ?رمول مورد quantification قرار بگیرد متغیر پایبند bound variable می نامیم در غیر این صورت آزاد free variable. ?رمولی که تمام متغیر هایش پایبند شده باشند یک جمله sentence یا گزاره proposition نامیده می شود. همین جا مشخص است که ?رمولی که جمله نباشد حتما قابل ارزش یابی نیست به طور مثال در x=5 متغیر x آزاد است و ?رمول یک جمله نیست و بنا به این که x چه باشد ممکن است ?رمول درست یا نادرست باشد.

معنادهی semantics در منطق مرتبه اول با کمک ساختار ها structure انجام می شود. یک ساختار برای یک منطق مرتبه اول مجموعه ای ریاضی از عناصر را مشخص می کند که تمام ثابت ها و متغیر ها عضوی از آن هستند و درستی هر محمول که متغیر آزاد نداشته باشد کاملا تعیین شده است. به طور مثال برای زبانی که تاکنون در مورد آن صحبت شد مجموعه ی اعداد طبیعی (یا حقیقی یا ...) می تواند یک ساختار باشد که البته هر محمولی در آن دقیقا تعیین شده است مثلا 5=5 در چنین ساختاری یا درست است یا نادرست و هیچ حالت دیگری وجود ندارد. به عبارتی ساختار ها در منطق مرتبه اول قسمت محتوایی informal هستند که توسط گزاره ها در مورد آن اسناد می شود. همانند منطق گزاره ها ارزش دهی وجود دارد؛ همان طور که نماد های جمله ای در آن منطق ارزش دهی می شدند محمول ها در این منطق با توجه به ساختاری که برایش در نظر گر?ته شده درست true valued یا غلط false valued ارزش یابی می شوند.

اگر ?رمولی با ارزش یابی توسط یک ساختار خاص U و به ازای جایگزینی خاصی از متغیر های آزادش درست ارزیابی شود true valued می گوییم در ساختار U با آن جایگزینی متغیر ارضا شده است. اگر ?رمولی با هر جایگزینی متغیر در ساختار U ارضا شود می گوییم ساخت U آن را مدل model کرده است یا U مدلی برای آن است. اگر یک گزاره در ساختار U ارضا شود می گوییم آن یک گزاره ی درست (صادق و در حالت مقابل کاذب) true آن ساختار است. برای یک مجموعه از گزاره ها به عنوان مجموعه ی ?رض ها و یک گزاره ی p می گوییم p نتیجه ی منطقی (استلزام منطقی) logical implication  مجموعه ی ?رض ها است اگر هر ساختار که مجموعه ی ?رض ها را مدل کند p را نیز مدل کند یا به عبارتی هر ساختار که ?رض ها در آن درست است p نیز درست باشد. اگر دو ?رمول p و q همدیگر را منطقا استلزام کنند می گوییم این دو منطقا معادل اند logical equivalent و در نهایت اگر ?رمول p بدون هیچ مجموعه ی م?روض در هر ساختاری مدل شود می گوییم p یک ?رمول معتبر valid formula است. خصوصا اگر p یک گزاره باشد که به اختصار می گوییم معتبر است.

با توجه به تعری? ساختار واضح است که در یک ساختار U هر گزاره یا درست (صادق) است یا نادرست (کاذب). اما برای یک گزاره ی این امکان وجود دارد که در بعضی ساختار ها درست و در بعضی نادرست باشد در این صورت نه خود آن و نه نقیض آن هیچ کدام معتبر نیستند. به همین ترتیب این امکان وجود دارد بعضی ساختارها که مجموعه ی ?رض را ارضا می کنند گزاره ی مورد نظر را ارضا کنند و بعضی ارضا نکنند در این صورت نه خود گزاره و نه نقیض آن از مجموعه ی ?رض استلزام نمی شوند.

و اما دستگاه استنتاجی یک منطق مرتبه اول که تا کنون از آن صحبتی نکردیم. وجود چنین دستگاهی الزامی است و البته در انتخاب آن به صورت تماما از اصول منطقی یا تمام از قواعد استنباط اختیار داریم و همچنین می توان اصول یا قواعد منطقی دلخواهی انتخاب کرد. به طور مثال همان طور که گ?ته شد در منطق شهودی تعدادی از قوی ترین قواعد وجود ندارند و بنابراین چنین منطقی در اثبات خیلی گزاره ها نا توان است. یکی از معمول ترین دستگاه های استنتاجی مجموعه ای است از اصول منطقی است به همراه قاعده ی وضع مقدم modus ponen.

اگر گزاره ای توسط دنباله ی محدودی از گزاره ها که از مجموعه ی ?رض شروع شده و توسط قواعد استنباط از همدیگر استنباط شده اند حاصل شود می گوییم آن گزاره از مجموعه م?روض استنتاج شده است deduced و به این دنباله اثبات proof آن گزاره می گویند. به آن گزاره قضیه theorem آن مجموعه ی م?روض نیز می گویند. همانند استلزام منطقی سه حالت وجود دارد:

نه گزاره ی p نه نقیض آن اثبات نمی شوند

گزاره ی p اثبات می شود

نقیض گزاره ی p اثبات می شود.

می گوییم p استنتاجا مستقل از مجموعه ی ?رض است اگر حالت اول را داشته باشیم. به طور مشابه می گوییم p  منطقا مستقل از مجموعه ?رض است اگر ... . می توان نشان داد برای بیشتر دستگاه های استنتاجی این دو دقیقا یکی هستند یعنی اگر گزاره منطقا مستقل باشد استنتاجا مستقل است و بر عکس (بنابراین در ادامه از واژه ی استقلال است?اده خواهد شد). [در ادامه ...]

مجموعه ای از ?رض ها را منطقا ناسازگار logical inconsistent می گوییم اگر هر گزاره ای از آن استلزام شود و استنتاجا ناسازگار اگر هر گزاره ای از آن اثبات. اگر مجموعه ی م?روض ناظر به ساختار خاصی باشد یا به عبارتی توسط ساختاری مدل شود نمی تواند منطقا ناسازگار باشد (این از تعری? ساختار بر می آید). اما امکان دارد استنتاجا ناسازگار باشد در این صورت تنها مورد اشتباه دستگاه استنتاجی است که است?اده شده. اگر از ?رض هایی که توسط ساختاری مدل شده اند قضیه ی کاذبی استنتاج شود دستگاه استنتاجی نادرست unsound است و در غیر این صورت دستگاه درست sound. همانند استقلال می توان گ?ت برای دستگاه های درست سازگاری منطقی با سازگاری استنتاجی معادل است (بنابراین در ادامه ?قط از واژه ی سازگاری است?اده خواهد شد). [در ادامه ...]

درستی soundness دستگاه استنتاجی ای که توصی? شد بسیار مستقیم قابل اثبات است. اما اگر به جای قاعده ی وضع مقدم قاعده ی زیر را بگذاریم دستگاه نادرست می شود:

“p=>q? , “p? نتیجه بدهد “~q?

برای یک دستگاه درست هر قضیه یک استلزام منطقی خواهد بود. اما عکس این مطلب بدیهی نیست و در واقع دستگاه های استنتاجی که بتوانند تمام استلزام های منطقی شان را ثابت کنند کامل complete می نامیم. کامل بودن دستگاه های استنتاجی مرتبه اول برای اولین بار توسط گودل Kurt Godel اثبات شده است. قضیه ی تمامیت completeness theorem :1930 بر خلا? انتظار بعضی ها نشان می دهد هر چیز درست قابل استنتاج است؛ به نظر من این عجیب ترین قضیه ی منطق مرتبه اول است. به طور مختصر قضیه ی تمامیت اظهار می کند که م?هوم استلزام منطقی و استنتاج منطقی معادل است.

و در نهایت آخرین گزارش از منطق ریاضی مربوط می شود به دو قضیه ی ناتمامیت گودل 1931: Godel incompleteness theorems. این سه قضیه از گودل در اولین برخورد متناقض به نظر می رسند. حقیقت این است که در منطق ریاضی واژه شناسی گمراه کننده و مشترکی برای دو مقوله ی مت?اوت در نظر گر?ته شده است. اجازه بدهید به جای incompleteness بگوییم عدم ک?ایت insufficiency و آن را تعری? کنم.

اما قبل از آن توضیحی در مورد گرایش ریاضی دانان معاصر خصوصا راسل و هیلبرت از ابتدای قرن بیست به سوی صورت گرایی formalism خواهم داد. در منطق ریاضی به ویژه در منطق ریاضی بسیار مطلوب است (البته این یک نگرش غالب بوده و است) که عنصر سوم منطق یعنی ساختار یا همان معنا semantics از آن حذ? شود البته به این م?هوم که پس از انتخاب مجموعه ی ?رض ها بتوان کاملا مستقل از هر گونه ساختار معنایی تمام نتایج منطقی را استنتاج کرد. برای چنین نگرشی دلایلی وجود دارد یکی از مهم ترین آن ها ناتوانی منطق ریاضی در بیان و تعیین ساختار های ریاضی است؛ برای مشخص کردن ساختارهای ریاضی به م?اهیم نظریه ی مجموعه ها مانند مجموعه، تابع و ... نیاز است و علاوه بر این ارتباط یک ساختار با یک قسمت صوری formal خود مستلزم م?اهیم ?رای منطق ریاضی است و از طر? دیگر نظریه ی مجموعه ها برای بیان دقیق بر پایه ی منطق ریاضی است به این صورت است که منطق قائم به ذات نخواهد بود بلکه نیاز به م?اهیم ?را منطقی دارد. دیگر دلیلی که برای چنین نگرشی وجود دارد تمایل به reductionism و اصول گرایی است که در مورد آن مختصری صحبت شد.

به طور مثال در آغاز قرن بیست ریاضی دانان بر این باور بودند که با پنج اصل موضوع پئانو Peano درباره ی ساختار اعداد طبیعی بتوانند تمام حساب arithmatic را استنتاج کنند یا این که سازگاری این اصول را از خود آن ها به عنوان قضیه ای ثابت کنند. دو قضیه ی عدم ک?ایت گودل خط بطلانی بر چنین نگرشی است.

اگر گزاره ای مستقل از مجموعه ای از ?رض ها باشد تعری? می کنیم چنین مجموعه ای از ?رض ها برای استنتاج (یا همان استلزام) آن گزاره ک?ایت نمی کند و در غیر این صورت (خود یا نقیضش قضیه ی آن مجموعه خواهد بود) ک?ایت می کند. مجموعه ای از ?رض ها را که برای استنتاج هر گزاره ای ک?ایت می کند کا?ی sufficient تعری? می کنیم. بنابراین هر مجموعه ی کا?ی از ?رض ها (اصول) یا خود گزاره و یا نقیض آن گزاره را استنتاج خواهد کرد. واضح است اگر بخواهیم ک?ایت را برای یک ساختار و نه برای مجموعه ی ?رض ها تعری? کنیم هر ساختاری کا?ی است زیرا یا یک گزاره در آن درست است و یا غلط.

همان طور تلویحا بدون ذکر هیچ جزییاتی [تقریبا 10 پاراگرا? پیش] اشاره شد این امکان بسیار وجود دارد که هیچ مجموعه ?رضی کا?ی نباشد. اما وضعیت آن چنان هم بد نیست؛ گودل: هر منطق مرتبه اول ریاضی که قادر به تعری? م?هوم عدد داخل گزاره های خود باشد کا?ی نخواهد بود. (البته شرایط این قضیه دقیق تر از این بیان از آن است)

لازم به توضیح است کا?ی نبودن یک منطق ریاضی به این معنی است که به ازای هر تعداد اصل همیشه گزاره های مستقل وجود دارند.

همان طور که اشاره شد وضعیت خیلی هم ناگوار نیست به طور مثال مجموعه ی پنج اصل موضوع اقلیدس برای هر گزاره ای در این نظریه ک?ایت می کند، زیرا با این اصول نمی توان عدد را تعری? کرد.

قضیه ی دوم عدم ک?ایت گودل صر?ا مثالی است از چنین گزاره های غیر قابل اثباتی. چنین گزاره ای گزاره ی سازگار بودن نظریه است. بنابراین سازگاری هیچ مجموعه ی اصل موضوعی نظریه اعداد را نمی توان ثابت کرد.

قضایای عدم ک?ایت گودل را به دو صورت می توان ت?سیر کرد:

  1. با هر مجموعه از اصول موضوع (اگر شرایط قضیه ی گودل برآورده شود) برای یک ساختار ریاضی مورد نظر (هر مدل) مثلا اعداد طبیعی همواره گزاره های درستی وجود دارند که نمی توان آن ها را ثابت کرد یا رد کرد و همین طور گزاره های غلطی که ... این ت?سیر از قضیه ی گودل در دوران قدیم به ویژه دورانی که سعی بسیاری برای اصولی کردن حساب می شد ?راگیر بود، در حقیقت گودل خود نیز با چنین ت?سیری آن را بیان کرد ولی زود (همان طور که در مورد نگرش گ?ته شد) ... [ت?سیر بعدی]

  2. با هیچ مجموعه ای از اصول موضوع نمی توان یک ساختار ریاضی را توصی? کرد. به عبارتی همیشه گزاره هایی وجود دارند که مستقل اند و اصول موضوع برای استنتاجشان ک?ایت نمی کنند و بنابراین باید خود این گزاره ها یا نقیض شان به عنوان یک اصل موضوع جدید اضا?ه شوند. به عبارت ویژه، گزاره های مستقل [همان طور گ?ته شد [قبلا 10 پاراگرا? پیش بود]] که در بعضی ساختار ها درست و در بعضی غلط هستند وجه تمایز ساختار های ریاضی هستند و هر چه بیشتر اصل موضوع داشته باشیم آن چه در ذهن داریم بهتر منطقی-توصی? می شود. اگر گزاره ی مستقلی به عنوان اصل انتخاب شود یک سری و اگر نقیض آن انتخاب شود بقیه ی ساختار های ممکن زیر ذره بین توصی? منطقی قرار خواهند گر?ت. چنین ت?سیری از قضایای گودل حقیقی تر، امید وار کننده تر و منص?انه تر است.

 

نوشته شده توسط shahin در ساعت